Anwendungen des Integrals
8. Anwendungen
8. 1 Mittelwerte von Funktionen
Der
(arithmetische) Mittelwert von n gegebenen Zahlen x 1,
x 2,..., x n ist bekanntlich
Diese
Begriffsbildung lsst sich auf die Funktionswert f ( x)
einer auf einem Intervall [a; b] stetigen Funktion f
bertragen:
Das Intervall [a; b] wird in n Teilintervalle der Lnge
geteilt. In jedem Teilintervall wird eine Stelle x i
und der zugehrige Funktionswert f ( x i)
gewhlt. Damit wird der (arithmetische) Mittelwert gebildet:. Fr
gilt
und. Definition:
Fr eine auf einem Intervall [a; b] stetige Funktion f
heit
der
Mittelwert der Funktionswerte von f auf [ a; b]. Dieser
Mittelwert der Funktionswerte ist selbst auch ein Funktionswert von
f, wie der folgende Satz verdeutlicht:
Mittelwertsatz
der Integralrechnung: Ist f eine auf dem Intervall [a;
b] stetige Funktion, dann gibt es ein,
so
dass gilt:
Zu
beachten ist, dass c im allgemeinen nicht ( a + b)/2
ist. Wenn f im Intervall [ a; b] nur positive
Werte
f ( x) > 0 annimmt, dann lsst sich die Aussage
des Mittelwertsatzes der Integralrechnung geometrisch deuten: Die
Flche unter dem Graphen von f im Intervall [ a; b]
hat
denselben
Inhalt wie das Rechteck mit den Seiten b - a
und f ( c).
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Es ist dann also:
Ist f(x) eine Gerade, so ist m gerade der Mittelwert von f(a) und f(b). Daher nennt man m auch den Mittelwert der Funktion auf dem Intervall [a; b]. 15. 2008, 14:19
mYthos
Du verwechselst dies mit der Bestimmung der Fläche an sich. Dabei wird diese in unendlich viele Teil"streifen" unterteilt und danach der Grenzübergang gemacht. mY+
15. 2008, 14:27
Danke, jetzt habe ich es verstanden.
Mittelwerte Von Funktionen In De
Aufgelöst nach H ergibt sich ….. Eine Idee dahinter wäre Folgendes:
Man betrachtet eine stetige (oder allgemeiner: eine sog. "messbare") Funktion ƒ: X —> R, wobei (X; µ) ein Wahrscheinlichkeitsraum ist und fragt sich, (1. ) welchen Informationsinhalt diese Funktion hat, und (2. ) wie diese vereinfacht werden kann. Dazu betrachtet man sogenannte sigma-Algebren auf dem Bildbereich X. Für stetige Funktionen besteht die Sigma Algebra aus:
alle offenen Mengen
Komplemente, abzählbare Schnitte und abzählbare Vereinigungen aus solchen Mengen
Komplemente, abzählbare Schnitte und abzählbare Vereinigungen aus diesen Mengen
usw. Diese sigma-Algebra heißt Bor(X), die Borel-Mengen. Um Information über die Funktion zu wissen, reicht es aus folgende Messungen zu nehmen ∫über x € A aus ƒ(x) µ(dx) für jedes A in Bor(X). Anhand dieser Zahlen kann man ƒ immer erneut aufbauen. Nochmals: die betrachtende Funktion am Anfang war "messbare", was heißt dass ƒ^{-1}(U) in Bor(X) liegt für alle U in Bor( R). Man erfasst die Funktion durch:
(∫über x € A aus ƒ(x) µ(dx): A in Bor(X))
und aus diesen Zahlen kann man die Bor(X)-messbare Funktion ƒ eindeutig rekonstruieren.
Mittelwert Von Funktionen Berechnen
In diesem Beispiel verwenden wir die Option, Eingaben mit Fehlern zu ignorieren. Die Funktion benötigt 3 Eingaben:
Funktionsnummer – Dies ist die Berechnung, die durchgeführt werden soll. Verwenden Sie 1 für MITTELWERT. Optionen – Um Fehlerwerte in den Eingaben zu ignorieren, verwenden wir die Option 6. Eingabebereich – Der zu berechnende Bereich. Besuchen Sie unsere Seite für die AGGREGAT Funktion, um mehr über die verfügbaren Optionen zu erfahren. Fehler mit der MITTELWERTWENN-Funktion ignorieren
Die MITTELWERTWENN-Funktion kann auch verwendet werden, um sicherzustellen, dass nur bestimmte Zahlenwerte in der Berechnung verwendet werden. Hier verwenden wir ">0", um nur Zahlen größer als Null zu mitteln. Dadurch werden auch eventuelle Fehler eliminiert. = MITTELWERTWENN ( B4: D4; ">0")
Fehler mit der MITTELWERTWENN-Funktion in Google Sheets ignorieren
Die Funktion MITTELWERTWENN funktioniert in Google Sheets genau so wie in Excel. Allerdings ist die AGGREGAT-Funktion in Google Sheets nicht verfügbar.
Ergnzend
sei angemerkt, dass es auch fr die Differentialrechnung einen
Mittelwertsatz gibt:
der Differentialrechnung: Ist f eine im geschlossenen
Intervall [ a; b] stetige und im offenen Intervall] a;
b [ differenzierbare Funktion, dann gibt es (mindestens) eine
Stelle c mit a < c < b, so dass
gilt:
Geometrische Deutung: Der Graph von f nimmt in
(mindestens) einem Punkt die "mittlere Steigung" an, die durch die
Sekantensteigung
gegeben ist. Beispiel:
Integral:
Mittelwert der Funktionswerte:
Stelle c, fr die gilt:
Ableitung:
Sekantensteigung:
8. 2 Volumen eines Rotationskrpers
Gegeben
sei eine auf dem Intervall [ a; b] stetige Funktion. Der
Graph von f schliet mit der x -Achse und den
Geraden mit den Gleichungen x = a und x = b
eine Flche ein. Rotiert diese Flche um die x -Achse,
entsteht ein Rotationskrper. Das
Volumen eines solchen Rotationskrpers lsst sich hnlich
berechnen wie die Flche unter dem Graphen einer Funktion. Dazu
wird das Intervall [ a; b] wieder in n gleiche
Teile der Breite
eingeteilt.
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Quellen: Creditreform Krefeld, Bundesanzeiger
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