Ausführliche Herleitung
\(f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\)
\(F(x)=\Big(\) \(\frac{1}{\frac{1}{2}+1}\) \(\Big)x^{\frac{1}{2}+1}=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}\sqrt{x^3}\)
Stammfunktion von Wurzel x
Die Stammfunktion der Wurzel ergibt:
\(\displaystyle\int \sqrt{x}\, dx\)\(=\frac{2}{3} \sqrt{x^3}+ C\)
\(F(x)=\frac{2}{3} \sqrt{x^3}+ C \)
Dabei ist \(C\) eine beliebige Konstante. Wenn unter der Wurzel nicht nur ein \(x\) steht, sondern z. B \(\sqrt{2x+1}\), so muss man das Integral der Wurzel über eine Substitution berechnen.
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Www.Mathefragen.De - Stammfunktion Von Wurzel X Und 1/X^2
Die folgende Aufgabe veranschaulicht, wie ein Integral funktioniert. Die obere und untere Grenze wird in die Stammfunktion eingesetzt und deren Funktionswerte werden voneinander abgezogen:
F(5)-F(1) = -1, 33-1, 66 = -3
Aber warum funktioniert das? Was sagt die Stammfunktion überhaupt aus? Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet
Community-Experte
Mathematik, Mathe, Physik
Das besagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Masterabschluss Theoretische Physik
Das Integral in bestimmten Grenzen gibt die Fläche zwischen Funktion und x-Achse an, wobei die Fläche unterhalb der x-Achse negativ und die oberhalb positiv verrechnet wird. Www.mathefragen.de - Stammfunktion von Wurzel x und 1/x^2. Die Stammfunktion ist das unbestimmte Integral der Funktion. (Tag: Doktorarbeit 😂😂)
Nur machst du das bisher im Kopf. Stammfunktion 1 wurzel x. Wenn deine Funktion am Anfang etwas anders ausgesehen hätte, dann wäre sie auch einfach gewesen. Dazu hätte nur die Ableitung der inneren Funktion als Faktor vor der Wurzel stehen müssen. $$\int { 2x\sqrt { { x}^{ 2}-1}dx} $$ Substitution mit u=x 2 -1 du = 2x dx dx= du / 2x $$\int { \sqrt { u} du} $$ Das kann man dann wieder gut integrieren und die Stammfunktion dann wieder resubstituieren
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