Der Satz des Pythagoras (= pythagoräischer Lehrsatz)
ist der wohl berühmteste Lehrsatz für Berechnungen in der Geometrie und
wurde nach Pythagoras von Samos benannt. Dieser Lehrsatz gilt nur im rechtwinkeligen Dreieck. Die wichtigsten Formeln zu diesem Kapitel finden Sie in der folgenden Übersicht. Bei unseren Formeln gehen wir davon aus, dass die beiden kürzeren Seiten (= Katheten) mit a und b sowie die längste Seite (= Hypotenuse) mit c bezeichnet werden. Für die Kathetensätze bzw. dem Höhensatz ist es wichtig zu wissen, dass die Höhe auf c (h c) die Hypotenuse c in zwei unterschiedlich lange Abschnitte teilt, die als p und q bezeichnet werden. Diagonale eines Rechtecks:
Diagonale eines Quadrates:
Raumdiagonale eines Quaders:
Flächendiagonale eines Würfels:
Raumdiagonale eines Würfels:
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Der Satz des Pythagoras gehört wohl zu den Dingen, die jeder Schüler in seiner Schullaufbahn einmal kennenlernt, wir beschäftigen uns in diesem Artikel mit dem Satz des Pythagoras.... Satz des Pythagoras Vorraussetzungen Der Satz des Pythagoras kann nur in Dreiecken verwendet werden, in dem es einen rechten Winkel gibt, andernfalls ist es nicht möglich! Satz des Pythagoras Verwendung Die 2 Seiten, die den rechten Winkel einschliessen, nennt man Katheten, die längste Seite ist die Hypotenuse In unseren Beispielen sind a und b jeweils die Katheten und c die Hypotenuse. Der Satz des Pythagoras besagt: a 2 + b 2 = c 2 Satz des Pythagoras Beispiele 1. ) a=4cm, b=5cm, c=??? Lösung: 4^2+5^2 = c^2 c = Wurzel aus 41 2. ) a = 2cm, c=4cm 2^2+b = 4^2 4 + b^2 = 16 /-4 12 = b^2 b = Wurzel aus 12 GD Star Rating loading... Satz des Pythagoras Aufgaben, Formel, Erklärung, 3. 3 out of 5 based on 5 ratings
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Der Satz des Pythagoras und seine Umkehrung
Hier erfährst du, was der Satz des Pythagoras und seine Umkehrung besagen und was ein pythagoreisches Zahlentripel ist. Der Satz des Pythagoras
Fast jeder hat den Satz schon einmal gehört:
a 2 + b 2 = c 2. Du kannst die Aussage des Satzes nachvollziehen, wenn du über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks jeweils ein Quadrat zeichnest. Dann erhältst du diese Figur:
In einem rechtwinkligen Dreieck
ABC mit dem rechten Winkel im Punkt
C sind
a und
b die Längen der
Katheten und
c die der
Hypotenuse. Es ist
a 2 der Flächeninhalt des Quadrats über der Kathete der Länge
a,
b 2 der Flächeninhalt des Quadrats über der Kathete der Länge
b und
c 2 der Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse. Satz des Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der beiden Quadrate über den Katheten der Längen a und b gleich dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse der Länge c Formel: a 2 + b 2 = c 2
Flächeninhalt eines Kathetenquadrats
Der Flächeninhalt A über der Kathete (Länge b) (in cm 2):
Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
a 2 + b 2 = c 2
Du stellst nach
b 2 um und setzt die Werte ein.
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Das Tripel (
3,
4,
5) ist ein solches pythagoreisches Zahlentripel. Jedes rechtwinklige Dreieck mit ganzzahligen Seitenlängen
c liefert ein pythagoreisches Zahlentripel (
c). Umgekehrt liefert jedes pythagoreische Zahlentripel (
c) ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen
c. Dies folgt aus dem Satz des Pythagoras und seiner Umkehrung.
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2 Seiten, zur Verfügung gestellt von rebecca1973 am 14. 01. 2014 Mehr von rebecca1973: Kommentare: 2
Satz des Pythagoras Pythagoras in Dreieckszeichnungen. Mit Lösungen. Die Maße wurden so gewählt, dass der Schüler seine Rechnungen "zeichnerisch" nachprüfen kann. Bei den Aufgaben wurden bewusst unterschiedliche Buchstaben verwendet, um den Schülern zu zeigen, dass Buchstaben nicht wirklich relevant sind. 9. Schuljahr - HS - NRW 3 Seiten, zur Verfügung gestellt von heinzpeltzer am 18. 03. 2013 Mehr von heinzpeltzer: Kommentare: 5
Pythagoras Etwas abstraktere Anwendungen am Rechteck und am gleichseitigen Dreieck. Mit Lösungen. Klasse 9/10 - HS - NRW 2 Seiten, zur Verfügung gestellt von heinzpeltzer am 06. 2012 Mehr von heinzpeltzer: Kommentare: 1 Seite: 1 von 3 > >>
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Du kannst also anhand der Seitenlängen eines Dreiecks überprüfen, ob es ein rechtwinkliges Dreieck ist. Umkehrung des Satzes des Pythagoras: Wenn in einem Dreieck
ABC mit den Seitenlängen
c die Gleichung
c gegenüberliegt. Willst du ein Dreieck auf Rechtwinkligkeit überprüfen, kommt immer nur die längste der drei Seiten als Hypotenuse in Frage. Ist ein Dreieck
c = 8. 5 cm,
a = 4 cm und
b = 7. 5 cm rechtwinklig"
Als Hypotenuse kommt nur die Seite der Länge
c in Frage. Du überprüfst die Gültigkeit der Gleichung
a 2 + b 2 = c 2:
Es gilt
a 2 + b 2 = c 2, also ist das Dreieck rechtwinklig. (Maße in cm)
Ist das Dreieck rechtwinklig" (Maße in
Als Hypotenuse kommt nur die Seite mit der Länge
c = 13. 6 cm in überprüfst die Gleichung
a 2 + b 2 = c 2 für dieses Dreieck:
a 2 + b 2 ≠
c 2, also ist das Dreieck nicht rechtwinklig. Pythagoreische Zahlentripel
Drei natürliche Zahlen
b,
c, die die Gleichung
a 2 + b 2 = c 2 erfüllen, heißen
pythagoreisches Zahlentripel ( a, b, c) (Tripel, weil es drei Zahlen sind).
Nun ist die Strecke q von A bis S und die Strecke p von S bis B. Wenn wir nun die Höhenlinie weiter zeichnen teilen wir das Hypothenusenquadrat in zwei Rechtecke. Das eine hat die Maße q • c und das andere ist p • c.
Der Kathetensatz besagt nun, dass jedes der Rechtecke den selben Flächeninhalt hat wie je eines der beiden Kathetenquadrate. So meint es, dass das Rechteck p • c = a² ist. Dies gilt auch für das andere Kathetenquadrat über der Kathete b. Dies wäre: q • c =b². Formeln
a² = p • c
b² = q • c
Beweis
Um den Kathetensatz beweisen zu können, schauen wir uns die Gegebenheiten an. In unserer Abbildung haben wir drei rechtwinklige Dreiecke. ABC, BCS ( 90° in Punkt S) und CAS (90° in Punkt S). 1. a² + b² = c²
2. q + p = c
3. (q + p)² = c²
4. h² + p² = a² (Abwandlung des Satzes des Pythagoras)
5. h² + q² = b² (Abwandlung des Satzes des Pythagoras)
Nun können wir einsetzen. Wir wollen beweisen, dass es gilt a² = p • c
Als erstes ersetzen wir c²:
a² + b² = (q + p)²
Dann ersetzen wir a² und b²:
h² + p² + h² + q² = (q + p)²
Nun fassen wir zusammen und lösen die binomische Formel auf
2h² + p² + q² = q² +2qp + p²
Es wird auf beiden Seiten q² und p² abgezogen
2h² = 2qp
Wir teilen durch 2
h² = qp
Nun kommt der zweite Schritt in dem wir das Ergebnis in unsere 4.