Rechenoperationen mit komplexen Zahlen
In Teilbereichen der Physik und der Technik, etwa bei der Rechnung mit Wechsel- oder Drehströmen in der Elektrotechnik, bedient man sich der Rechenoperationen mit komplexen Zahlen. Das ist zunächst verwunderlich, da es in der klassischen Physik eigentlich nur reelle aber keine imaginären Größen gibt. Das Resultat jeder Rechenoperation mit komplexen Zahlen ist wieder eine komplexe Zahl, doch deren Real- und deren Imaginärteil sind jeweils reelle Größen, die eine physikalische Bedeutung haben können. Ein Beispiel aus der Elektrotechnik: Multipliziert man etwa eine zeitabhängige Stromstärke I mit einer phasenverschobenen Spannung U so erhält man die (komplexe) Scheinleistung S. Komplexe zahlen berechnen quotient | Mathelounge. Der Realteil von S ist die Wirkleistung P und der Imaginärteil von S ist die Blindleistung Q, beides sind reale physikalische Größen mit reellem Wert. Addition komplexer Zahlen
Komplexe Zahlen lassen sich besonders einfach in der kartesischen Darstellung addieren, indem man jeweils separat (Realteil + Realteil) und (Imaginärteil + Imaginärteil) rechnet.
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Da eine vollständige Drehung um den Ursprung eine komplexe Zahl unverändert lässt, gibt es viele Möglichkeiten, die getroffen werden könnten
indem Sie den Ursprung beliebig oft umkreisen. Dies ist in Abbildung 2 dargestellt, eine Darstellung der mehrwertigen (eingestellten) Funktion
Dabei schneidet eine vertikale Linie (in der Abbildung nicht dargestellt) die Oberfläche in Höhen, die alle möglichen Winkeloptionen für diesen Punkt darstellen. Argument (komplexe Analyse) - gaz.wiki. Wenn eine gut definierte Funktion erforderlich ist, so ist die übliche Wahl, als der bekannte Hauptwert ist der Wert in dem Frei geschlossenem Intervall (-π rad, π rad], ist, die von -π bis & pgr; Radian, ohne -π rad selbst (äquiv. von –180 bis +180 Grad, ausgenommen –180 ° selbst). Dies entspricht einem Winkel von bis zu einem halben vollständigen Kreis von der positiven realen Achse in beide Richtungen. Einige Autoren definieren den Bereich des Hauptwerts als geschlossen-offen-Intervall [0, 2π]. Für den Hauptwert wird manchmal der Anfangsbuchstabe großgeschrieben, wie in Arg z, insbesondere wenn auch eine allgemeine Version des Arguments berücksichtigt wird.
Geometrisch betrachtet ist der absolute Betrag (auch Absolutwert oder schlicht Betrag) einer reellen Zahl x die Strecke von x zu null auf dem Zahlenstrahl. Da Strecken immer positiv oder null sind, ist auch der Betrag jeder reellen Zahl x positive oder null: | x | ≥ 0. Definition
Da die Quadratwurzel einer reellen Zahl immer positiv ist, kann die Betragsfunktion auch wie folgt definiert werden:
Eigenschaften der Betragsfunktion
1. Symmetrie: Eine Zahl und ihr negatives Gegenstück haben den selben Betrag
2. Multiplikativität: Der Betrag aus dem Produkt von a und b ist gleich dem Produkt des Betrags von a multipliziert mit dem Betrag von b
3. (Auch) Multiplikativität: Der Betrag des Quotienten von a und b ist gleich dem Quotienten aus dem Betrag von a und dem Betrag von b
4. Subadditivität: Der Betrag der Summe zweier Zahlen a und b wird immer geringer sein als der Betrag von a addiert mit dem Betrag von b
5. Potenzen komplexer Zahlen | Maths2Mind. Idempotenz: Mehrmaliges Anwenden der Funktion verändert den Wert nicht
Betrag von komplexen Zahlen
Zum Hauptartikel komplexe Zahlen
Der Betrag einer komplexen Zahl ist definiert als die Länge von dem Punkt (0; 0) zu dem Punkt der komplexen Zahl in der Gaußebene.
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In der Algebra ist der Quotientenkörper eines Rings (mit bestimmten Eigenschaften) eine Obermenge dieses Rings, auf welche die Addition und die Multiplikation des Rings fortgesetzt werden und in der jedes Element außer ein multiplikatives Inverses besitzt. Das prominenteste Beispiel ist der Körper der rationalen Zahlen als Quotientenkörper des Rings der ganzen Zahlen. Eine Verallgemeinerung des Konzepts für nicht notwendigerweise nullteilerfreie Ringe ist durch die Lokalisierung gegeben. Definition [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Es sei ein vom Nullring verschiedener, nullteilerfreier kommutativer Ring. Quotient komplexe zahlen video. Der kleinste Körper, in den eingebettet werden kann, wird der Quotientenkörper oder Körper der Brüche des Rings genannt. Gebräuchlich ist die symbolische Abkürzung oder auch. Bemerkungen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Für den Nullring wäre die Menge in der Definition unten leer. Der Ring muss frei von Nullteilern sein, da ansonsten für mit die Multiplikation nicht wohldefiniert wäre (siehe unten).
Im Abschnitt zur Division steht, wie der Betrag schnell errechnet werden kann. Rechenregeln [ Bearbeiten]
Mit diesen Definitionen soll jetzt gezeigt werden, dass die "üblichen" Rechenregeln der reellen Zahlen widerspruchsfrei auf die komplexen Zahlen übertragen werden können. Weil es sich um eine Erweiterung der reellen Zahlen handelt, müssen jedenfalls für alle Regeln der reellen Zahlen – siehe unten im Abschnitt Hinweise – unverändert gelten. Quotient komplexe zahlen de. Die Zahl 0 – also – muss das neutrale Element der Addition sein. Die Zahl 1 – also – muss das neutrale Element der Multiplikation sein. Zu jeder Zahl – also – gibt es ein inverses Element der Addition. Zu jeder Zahl – also – gibt es ein inverses Element der Multiplikation. Es gelten die Gesetze für Addition und Multiplikation, also Kommutativgesetze, Assoziativgesetze und Distributivgesetz. Dabei werden folgende Bezeichnungen verwendet:
0 und 1 werden wahlweise als reelle Zahl oder als komplexe Zahl mit behandelt; die Bedeutung ergibt sich immer aus dem Zusammenhang.
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In Teil 1 und Teil 4 haben wir verschiedene geometrische Darstellungen von komplexen Zahlen kennengelernt und auch, wie man damit Rechnungen »konstruktiv« durchführen kann. In Teil 3 haben wir uns mit den verschiedene algebraische Darstellungen beschäftigt. Jetzt ist es an der Zeit mit den komplexen Zahlen in kartesischer Darstellung schriftlich zu rechnen. Addition/Subtraktion
Die Addition erfolgt durch paralleles Verschieben eines Pfeils ans Ende des anderen (s. Abb. 1). Dadurch werden in Richtung der beiden Achsen einfach die Komponenten addiert:. Abb. 1: Die Addition komplexer Zahlen. Das zu additiv Inverse ist. Die Subtraktion wird damit zur Addition. Bei der komplexen Addition bzw. Subtraktion werden also einfach die Real- bzw. Imaginärteile getrennt voneinander addiert bzw. Quotient komplexe zahlen 7. subtrahiert. Multiplikation
Zur Berechnung des Produkts zweier komplexer Zahlen
tun wir so, als würden wir zwei Klammerterme ausmultiplizieren:. Jetzt verwenden wir und erhalten. Hat diese komische Mischung der Real- und Imaginärteile von und aber tatsächlich die Eigenschaften, die wir in Teil 1 für die Multiplikation gefunden haben?
In diesem Kapitel werden – ausgehend von der Lösbarkeit quadratischer Gleichungen – die komplexen Zahlen eingeführt. Definitionen [ Bearbeiten]
Betrachten wir nochmals die Einführung der irrationalen Zahlen über die folgende quadratische Gleichung:
Zu ihrer Lösung wurde das Wurzelsymbol eingeführt, das wie eine Variable eingesetzt werden kann. Der exakte Wert von ist zwar nicht bekannt, aber wir wissen, dass genau gleich 2 ist. In ähnlicher Weise führen wir eine Lösung für diese quadratische Gleichung ein:
Wir definieren ein Zeichen, dessen Wert wir zwar nicht kennen, von dem wir aber wissen, dass sein Quadrat gleich –1 ist. Dieses Symbol heißt imaginäre Einheit i. [1]
Definition (Imaginäre Einheit)
Die imaginäre Einheit i ist jene Zahl, deren Quadrat gleich –1 ist:
[2]
Die imaginäre Einheit soll den Charakter einer Zahl haben. Wir müssen deshalb untersuchen, ob wir brauchbare, widerspruchsfreie Ergebnisse erhalten, wenn wir auf diese "Zahl" die bekannten Rechengesetze für reelle Zahlen anwenden.