(1. ) Was ist ein Baumdiagramm (2. ) Ziehen mit Zurücklegen (3. ) Ziehen ohne Zurücklegen (4. ) Pfad- und Summenregel
(1. ) Was ist ein Baumdiagramm
Das Baumdiagramm ist eine übersichtliche Darstellungsmöglichkeit von mehrstufigen Zufallsexperimenten. Baumdiagramme. Es gibt nicht nur die verschiedenen Wahrscheinlichkeiten, sondern auch die möglichen Ausgänge eines solchen Experimentes an. Grundsätzlich unterscheidet man hier zwischen Baumdiagrammen, die ein Zufallsexperiment für "Ziehen mit Zurücklegen" und "Ziehen ohne Zurücklegen" darstellen. (2. ) Ziehen mit Zurücklegen
Bei einem Baumdiagramm, welches ein solches Zufallsexperiment repräsentiert, eignet sich das Ziehen von Kugel aus einer Urne, besonders gut! Hierbei wird die erste gezogene Kugel wieder zurückgelegt, sodass bei jeder Stufe die Ausgangssituation wieder hergestellt wird. Beispiel: In einer Urne sind 3 schwarze und 2 rote Kugeln. Es wird zweimal "mit Zurücklegen" gezogen. Die Wahrscheinlichkeiten sind: \(P("schwarze \, Kugel")= \frac{3}{5}\), da 3 von 5 Kugeln schwarz sind und \(P("rote \, Kugel")= \frac{2}{5}\), da 2 von 5 Kugeln schwarz sind.
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Baumdiagramme
Schau dir dazu das Lernvideo zum Thema Baumdiagramm und Urnenmodell an. Urnenmodelle und Pfadregeln in der Stochastik, Wahrscheinlichkeit | Mathe by Daniel Jung
In einer Urne befinden sich 60 rote Kugeln und 40 blaue Kugeln und wir ziehen zwei Kugeln ohne Zurücklegen. Wie wir bereits wissen können wir hier die Laplace-Wahrscheinlichkeit anwenden und erhalten die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
P(R) = \frac{60}{100} \\
P(B) = \frac{40}{100}
Im Baumdiagramm sehen wir die Wahrscheinlichkeiten im ersten Zug eine rote oder eine blaue Kugel zu ziehen. Addiert man die Wahrscheinlichkeiten für beide Ereignisse, so erhält man als Summe eins: $P(\Omega)=1$. Im Gegensatz zum Ziehen mit Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten beim Ziehen ohne Zurücklegen im zweiten Zug. Zieht man beispielsweise im ersten Zug eine rote Kugel, so hat man im zweiten Zug eine geringere Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu ziehen. Ziehen ohne Zurücklegen · Urnenmodell · [mit Video]. Warum? Weil sich die Anzahl der günstigen und der möglichen Ereignisse (eine Rote Kugel weniger) um 1 verringert.
Baumdiagramm Zum Urnenmodell Ohne Zurücklegen - Youtube
Nach dieser Logik kannst du nun alle Pfadwahrscheinlichkeiten bestimmen. Um dich zu kontrollieren, kannst du die Wahrscheinlichkeiten, die von einem Ereignis ausgehen, addieren – dabei muss immer 1 herauskommen. Wahrscheinlichket berechnen
So, nun sollst du mit dem fertig erstellten Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, erst zwei blaue und dann eine rote Kugel zu ziehen. Dazu musst du einfach mit der Produktregel wieder die Pfade entsprechend entlang gehen und die Wahrscheinlichkeiten der Zweige multiplizieren. Da nur zwei blaue Kugeln in der Urne sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit nach zweimal blau eine rote Kugel zu ziehen 100%. Wir rechnen also
Die Wahrscheinlichkeit, erst zwei blaue und dann eine rote Kugel zu ziehen, beträgt also circa 2, 2%. Ziehen ohne zurücklegen baumdiagramm. Analog kannst du auch die Pfadwahrscheinlichkeit für viele andere Ergebnisse bestimmen. Baumdiagramm Pfadregeln
Das war auch schon alles Wichtige zum Baumdiagramm! Zur Wiederholung hier noch einmal die beiden Pfadregeln:
Erste Pfadregel (Produktregel): Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ergebnisses ergibt sich aus dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu diesem Ergebnis führt.
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Urnenmodell ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge
Schauen wir uns das Ganze gleich anhand eines praktischen Beispiels an. Stell dir vor du hast eine Kiste mit 8 schwarzen und 4 weißen Kugeln. Nun nimmst du nacheinander 4 Kugeln aus der Kiste, ohne sie danach zurückzulegen. Jetzt möchtest du wissen, wie viele mögliche Ergebnisse du bei dieser Ziehung erhalten kannst. Das bestimmst du mit Hilfe des Binomialkoeffizienten. Hier zur Wiederholung nochmal die Formel:
N steht hierbei für die Anzahl an Elementen insgesamt und klein k für die Anzahl an Ziehungen. Wir rechnen also:
Es gibt also 495 Möglichkeiten die Kugeln aus der Urne zu ziehen. Wahrscheinlichkeit ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge
Als nächstes möchtest du die Wahrscheinlichkeit bestimmen, genau eine schwarze Kugel zu ziehen. Um das zu berechnen, musst du wissen, dass diesem Zufallsexperiment die hypergeometrische Verteilung
zugrunde liegt. Baumdiagramm ohne zurücklegen aufgaben. Mithilfe der Formeln der Verteilung kannst du diese Aufgabe lösen. Genauer gesagt verwenden wir die Funktion für die Dichte der hypergeometrischen Verteilung, denn diese Wahrscheinlichkeitsfunktion gibt ja die Wahrscheinlichkeit im diskreten Fall dafür an, genau einen Wert x zu erhalten.
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