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Aufgabe: Berechnen Sie mit den Algorithmen der Vorlesung (Chinesischer Restsatz) und ohne Hilfe eines Computers: 2^413 mod 225 Hinweis: Verwenden Sie im Teil b) den Chinesischen Restsatz und den kleinen Satz von Fermat. Chinesischer Restsatz | Online- Lehrgang. Verwenden Sie außerdem, dass für die Eulersche Phifunktion gilt ϕ(pk) = p^k − p^k−1 für alle Primzahlen p, k ∈ N und k ≥ 1. Letztere Formel haben wir im Vorlesungsforum ebenfalls besprochen
Gefragt
6 Jan
von
1 Antwort
Oh sorry. Dann kann man den chinesischen Restsatz ja doch noch verwenden;-) Da habe ich ja ziemlichen Murx geliefert.. Aber nun ist \(\phi(225)=\phi(3^2)\phi(5^2)=6\cdot 20=120\), also \(2^{120}\equiv 1\) mod \(225\), also...
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Beweis zur Existenz: Mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus können wir 1 = (m 1, m 2) als Linearkombination von m 1 und m 2 darstellen. Seien also n 1, n 2 ∈ ℤ mit 1 = n 1 m 1 + n 2 m 2. Nun setzen wir x = a 1 n 2 m 2 + a 2 n 1 m 1. Dann ist x wie gewünscht, da x ≡ a 1 n 2 m 2 ≡ a 1 (1 − n 1 m 1) ≡ a 1 mod(m 1), x ≡ a 2 n 1 m 1 ≡ a 2 (1 − n 2 m 2) ≡ a 2 mod(m 2). zur Eindeutigkeit: Sind x und x′ wie in (+), so gilt x ≡ x′ mod(m 1) und x ≡ x′ mod(m 2). Dann gilt m 1 | (x − x′) und m 2 | (x − x′). Wegen (m 1, m 2) = 1 gilt also m 1 m 2 | (x − x′). Chinesischer restsatz online rechner. Damit ist x ≡ x′ mod(m 1 m 2). Der konstruktive Beweis zeigt, wie sich die modulo m eindeutige Lösung berechnen lässt. Das Verfahren ist auch für große Moduln sehr effizient. Beispiel Wir lösen die obigen Kongruenzen 2 ≡ x mod(3) und 4 ≡ x mod(5) mit dem Verfahren des Beweises. Der Euklidische Algorithmus liefert 1 = 2 · 3 − 1 · 5. Damit ist x = a 1 n 2 m 2 + a 2 n 1 m 1 = 2 · (−1) · 5 + 4 · 2 · 3 = −10 + 24 = 14 die modulo 15 eindeutige Lösung der Kongruenzen, in Übereinstimmung mit der oben durch Auflisten gefundenen Lösung.