Demnach gibt es
verschiedene Kombinationen. Dabei gibt es fünf Kombinationen, bei denen alle
Bärchen die gleiche Farbe haben,
Kombinationen mit zwei verschiedenen Farben,
mit drei Farben,
mit vier Farben und eine mit allen fünf Farben. Würde es beim Ziehen auf die
Reihenfolge ankommen, hätte man es mit einer "Variation mit Wiederholung" zu
tun, das heißt mit
Möglichkeiten. Zur gleichen Anzahl
kommt man bei der Frage nach der Zahl der Möglichkeiten, vier Stifte aus einem
Vorrat von Stiften mit sechs verschiedenen Farben auszuwählen ( Mastermind
ohne Berücksichtigung der Anordnung). Dagegen gibt es beim "richtigen"
Mastermind (mit Berücksichtigung der Anordnung)
Möglichkeiten. Urne
Aus einer Urne mit fünf nummerierten Kugeln
wird dreimal eine Kugel gezogen
und jeweils wieder zurückgelegt. Man kann also bei allen drei Ziehungen immer
aus fünf Kugeln auswählen. Die Gummibären-Maschine – Ideen zum Gummibärenlied – Mrs.Rupäd. Wenn man die Reihenfolge der gezogenen Zahlen nicht
berücksichtigt, gibt es
verschiedene Kombinationen. Diese
Kombinationen mit Wiederholung von fünf Dingen zur Klasse drei, also
dreielementige Multimengen
mit Elementen aus der Ausgangsmenge,
entsprechen dabei, wie die nebenstehende Grafik zeigt, genau den
Kombinationen ohne Wiederholung von sieben Dingen zur Klasse drei, also der Zahl
dreielementiger Teilmengen
einer insgesamt siebenelementigen Ausgangsmenge.
- Die Gummibären-Maschine – Ideen zum Gummibärenlied – Mrs.Rupäd
- Kombinatorik - lernen mit Serlo!
- Säulendiagramme erstellen / einführen: Unsere Klasse in Zahlen - grundschulteacher | Kombinatorik, Schneemann, Brettspiel selber machen
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Die Gummibären-Maschine – Ideen Zum Gummibärenlied – Mrs.Rupäd
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Kombinatorik - Lernen Mit Serlo!
k k -Kombinationen sind damit ein Spezialfall von k k -Mengen. Zum Beispiel: { 6, 6, 5} ≠ { 6, 5} \{6, 6, 5\} \ne \{6{, }5\} und { 7, 3, 1} = { 1, 3, 7} \{7, 3, 1\} = \{1, 3, 7\} In der Tabelle gibt die Zelle " ohne Beachtung der Reihenfolge, mit Zurücklegen " die Antwort auf die Frage: Wie viele k k -Kombinationen gibt es, deren Einträge man aus n n verschiedenen Elementen wählen kann? Beispiele Lotto-Spiel: Es gibt ( 49 6) \binom{49}{6} Möglichkeiten, aus den Zahlen 1, 2, …, 49 ( n = 49 n=49) sechs Zahlen ( k = 6 k=6) anzukreuzen. ( Ohne Zurücklegen, denn nach jedem Kreuz ist die Zahl weg. Ohne Reihenfolge, denn es ist egal, welche Zahl wann angekreuzt wird. ) Es gibt 20! ( 20 − 15)! = 20! 5! \frac{20! }{(20-15)! Kombinatorik grundschule gummibaerchen . }=\frac{20! }{5! } Möglichkeiten, 15 Schüler auf 20 Sitzplätze zu verteilen. ( Ohne Zurücklegen, denn ein Schüler kann nicht auf 2 Plätzen sitzen. Mit Reihenfolge, da es wichtig ist, wer auf welchem Platz sitzt. ) Es gibt ( 5 + 3 − 1 3) = ( 7 3) \binom{5+3-1}{3}=\binom{7}{3} Möglichkeiten, drei Bärchen ( k = 3 k=3) aus einer Tüte mit Gummibärchen auszuwählen, wenn es fünf verschiedene Gummibärchenfarben gibt.
Säulendiagramme Erstellen / Einführen: Unsere Klasse In Zahlen - Grundschulteacher | Kombinatorik, Schneemann, Brettspiel Selber Machen
von Steven Passmore (Lehrer an der Rudolf Steiner Schule Birseck bei Dornach, Schweiz)
Mathematikepoche 9. Klasse, Steven Passmore, Januar 2014
Komplett als PDF kostenfrei herunterladbar. Inhaltsverzeichnis
I Zahlenmengen
1 Natürliche Zahlen
2 Ganze Zahlen
3 Rationale Zahlen
4 Reellen Zahlen
II Kombinatorik
5 Einleitung
6 Problemstellungen
6. 1 Sitzordnungen
6. 2 Freie Plätze
6. 3 Zahlenschloss
6. 4 Schweine
6. 5 Gummibärchen
7 Das Urnenmodell
7. 1 Grundidee
7. 2 Stichproben
7. 3 Formeln
7. 4 Vorgehensweise beim Lösen von Aufgaben
7. 5 Permutationen
III Stochastik
8 Begriffe der Statistik
8. 1 Einleitung
8. 2 Der Mittelwert
8. 3 Der Modalwert
8. 4 Der Median
8. 5 Die Spannweite
8. 6 Die mittlere Abweichung
9 Die Wahrscheinlichkeit
9. 1 Einleitung
9. Kombinatorik - lernen mit Serlo!. 2 Das Baumdiagramm
9. 3 Berechnungen im Baumdiagramm
9. 4 Beispiel: Der Ungleiche Würfel
IV Historische Problemstellungen
10 Fibonaccis Kaninchenproblem
10. 1 Fragestellung
10. 2 Lösungsansatz
10. 3 Ergebnis
10. 4 Fibonacci-Folgen
11 Das Galtonbrett
11.
Extra: Gummibärchen-Knobeleien - Eine Kartei Mit Kombinatorischen Aufgaben – Westermann
( Mit Zurücklegen, denn man wählt zuerst aus 5 verschiedenen Farben eine aus. Für das zweite Bärchen darf diese Farbe aber auch wieder gewählt werden. Ohne Beachtung der Reihenfolge, denn es ist egal, welches Gummibärchen welche Farbe erhält. ) Bei einem Zahlenschloss mit 5 Stellen ( k = 5 k=5) gibt es 1 0 5 10^5 Möglichkeiten für die Zahlenkombination. (Man zieht 5 Mal aus einer Urne mit 10 unterscheidbaren Kugeln (Ziffern 0, 1, …, 9) wobei man nach jedem Ziehen die Kugel wieder zurücklegt und später die Reihenfolge beachtet, in der die Ziffern stehen. EXTRA: Gummibärchen-Knobeleien - Eine Kartei mit kombinatorischen Aufgaben – Westermann. ) Beispielaufgaben 1. Inhalt wird geladen… 2. Inhalt wird geladen… 3. Inhalt wird geladen…
Dieses Kapitel dient als Einführung in die Kombinatorik. Einordnung Anordnung vs. Auswahl Bei einer Anordnung (Permutation) werden alle Elemente der Grundmenge betrachtet. Bei Auswahlen (Variationen oder Kombinationen) wird nur eine Stichprobe der Grundmenge betrachtet. Arten von Auswahlen Eine Auswahl, bei der die Reihenfolge der Elemente berücksichtigt wird, heißt geordnete Stichprobe oder Variation. Eine Auswahl, bei der die Reihenfolge der Elemente nicht berücksichtigt wird, heißt ungeordnete Stichprobe oder Kombination. Merke: Bei Anordnungen (Permutationen) wird die Reihenfolge immer berücksichtigt. Ohne oder mit Wiederholung? Ohne oder mit Zurücklegen? Bei Permutationen, Variationen und Kombinationen gilt es, jeweils zwei Fälle zu unterscheiden: Wenn die Objekte untereinander unterscheidbar sind, spricht man von einer Permutation/Variation/Kombination ohne Wiederholung (derselben Objekte). Im Urnenmodell sagt man statt ohne Wiederholung auch ohne Zurücklegen. Wenn die Objekte nicht unterscheidbar sind, spricht man von einer Permutation/Variation/Kombination mit Wiederholung.
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