Orientierung eines Vektorraums
Definitionen
Sei
ein endlichdimensionaler -Vektorraum
mit zwei geordneten Basen
und. Dazu gibt es eine Basiswechselsmatrix,
die den Übergang von der einen Basis in die andere beschreibt. Ist genauer
und,
so kann man die
bezüglich der Basis
als Linearkombinationen
darstellten. ist dann die aus den
gebildete Matrix. Diese ist als Basiswechselmatrix immer bijektiv
und hat daher eine von 0 verschiedene Determinante,
das heißt, es ist
oder. Ist die Determinante positiv, so sagt man, die Basen
und
haben dieselbe Orientierung. Den Basiswechsel selbst nennt man bei
positiver Determinante orientierungserhaltend, anderenfalls
orientierungsumkehrend. Bewegungen beschreiben. Sich im Raum orientieren. Da hier von der Anordnung der reellen Zahlen
Gebrauch gemacht wurde, kann diese Definition nicht auf Vektorräume über
beliebigen Körpern
übertragen werden, sondern nur auf solche über geordneten
Körpern. Die Orientierung ist über eine Äquivalenzrelation
zwischen geordneten Basen eines - Vektorraumes definiert. Zwei
Basen
sind äquivalent, wenn sie dieselbe Orientierung haben.
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Vertauscht man die beiden Achsen, "zeigt" also die -Achse
nach oben und die -Achse
nach rechts, dann erhält man eine zweite Basis mit anderer Orientierung. Ähnlich kann man auch im dreidimensionalen Anschauungsraum (mit einem
festgelegten Koordinatensystem) von Rechts-
und Linkssystemen sprechen, die sich mit der Drei-Finger-Regel
unterscheiden lassen. Homologische und kohomologische Orientierung
Mit
wird weiterhin ein reeller -dimensionaler
Vektorraum bezeichnet und mit
die relative
Homologie des Raumpaars. Orientierung im raum grundschule mathe in philadelphia. In der Homologietheorie
wurde gezeigt, dass ein Isomorphismus
existiert. Die Wahl einer Orientierung für
entspricht daher der Wahl eines der beiden Erzeuger von. Dafür betrachtet man eine Einbettung
des -dimensionalen
Standardsimplex
nach,
welche das Baryzentrum
nach
(und demzufolge die Seitenflächen nach)
abbildet. Eine solche Abbildung ist ein relativer Zykel und repräsentiert einen
Erzeuger von. Zwei solcher Einbettungen repräsentieren genau dann denselben Erzeuger, wenn sie
beide orientierungserhaltend oder beide nicht orientierungserhaltend sind.
Alternativ kann man auch den Thom-Raum
verwenden, dessen Kohomologie
zu
isomorph ist. Die Thom-Klasse entspricht dann dem Bild des (bzgl. Cup-Produkt) neutralen
Elementes
unter dem Thom-Isomorphismus. Kohomologische Orientierung (Verallgemeinerte Kohomologietheorien)
Kohomologietheorie mit neutralem Element. Wir bezeichnen mit
Für jedes
induziert die Inklusion
eine Abbildung. Eine kohomologische Orientierung bzgl. der Kohomologietheorie
ist – per definitionem – ein Element
mit
für alle. Beispiele:
Eine kohomologische Orientierung einer Mannigfaltigkeit ist per definitionem
eine kohomologische Orientierung ihres Tangentialbündels. Milnor-Spanier-Dualität
liefert eine Bijektion zwischen homologischen und kohomologischen Orientierungen
einer geschlossenen Mannigfaltigkeit bzgl. eines gegebenen Ringspektrums. Literatur
Gerd
Fischer: Lineare Algebra. 14. durchgesehene Auflage. Vieweg-Verlag,
Wiesbaden 2003, ISBN
3-528-03217-0. Orientierung im Zahlenraum bis 1000 - Zahlenraum bis 1000. Klaus
Jänich: Vektoranalysis. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a.