Beweis:
Es sei ein Eigenvektor X zum Eigenwert l einer Matrix A gegeben. Dann gilt für jeden reellen Faktor \(k \ne 0\):
\(A \cdot kX = kA \cdot X\)
Gl. 256
Nach der Bestimmungsgleichung für Eigenwerte Gl. 247 kann die rechte Seite ersetzt werden
\(kA \cdot X = k\lambda X\)
Gl. 257
Einsetzen in Gl. 256
\(A \cdot kX = k\lambda X = \lambda (kX)\)
Gl. Eigenwert · einfach erklärt, Berechnung, Beispiele · [mit Video]. 258
Das Vertauschen der Faktoren auf der rechten Seite ändert den Wert nicht! Damit liegt wieder die Bestimmungsgleichung des Eigenwertes Gl. 247, allerdings für den Eigenvektor kX vor. Also ist kX ebenso Eigenvektor von A wie X selbst. Von dieser Eigenschaft wird Gebrauch gemacht, um Eigenvektoren auf ihren Betrag zu normieren. Der normierte Eigenvektor \(\overline X \) wird entsprechend Gl. 259
\(\overline X = \frac{X}{ {\left| X \right|}} = \frac{X}{ {\sqrt {\sum {x_i^2}}}}\)
Gl.
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Gibt es einen Vektor \( X \), der mit einer gegebenen Matrix \( A \) multipliziert,
bis auf einen konstanten Faktor sich selbst ergibt? \(A \cdot X = \lambda \cdot X\)
Gl. 247
Existiert ein solcher Vektor, heißt er Eigenvektor von \( A \). Eigenwerte und eigenvektoren rechner mit. Das \( \lambda \) wird Eigenwert zu \( A \) genannt. Zur Lösung dieser Aufgabe wird Gl. 247 umgestellt:
\(A \cdot X - \lambda \cdot X = \left( {A - \lambda \cdot I} \right) \cdot X = 0\)
Gl. 248
Wenn der Vektor \( X \) von Null verschieden ist (nichttriviale Lösung), muss
\(A - \lambda \cdot I = 0\)
Gl. 249
sein.
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Das bedeutet wiederum, dass die Determinante 0 sein muss:
det(A-λE)=0. Diese Determinante nennt man dann "charakteristisches Polynom". Die Nullstellen dieses Polynoms sind dann die Eigenwerte. Nun zur Bestimmung der Eigenvektoren. Dafür setzt man den Eigenvektor in die Gleichung
anstelle des λ ein und erhält so ein Gleichungssystem das man lösen kann. Die Lösung dieses Gleichungssystems ist dann der Eigenvektor bzw. die Eigenvektoren. Beispiel:
Am Beispiel der Matrix bestimmen wir mal die Eigenwerte:
Setzt sie wie oben beschrieben in die Gleichung (A-λE)=0 ein, dann erhaltet ihr:
Dann Berechnet ihr die Determinante dazu:
Die Nullstellen des Polynoms sind dann eure Eigenwerte. Also in diesem Fall λ 1, 2 =2 und λ 3 =-2. Prozent in Bruch (Online-Rechner) | Mathebibel. Jetzt gehts weiter mit den Eigenvektoren, dazu setzt ihr wie oben beschrieben die Eigenwerte für λ ein, erstmal die 2:
Dann muss man das Gleichungssystem lösen und erhällt durch Umformung:
Der Vektor lässt sich so leicht ablesen:
Die Eigenvektoren sind dann alle Vielfachen dieses Vektors!
Anzahl der Zeilen
symmetrische Matrix
Beispiele
betragskleinster Eigenwert (inverse Vektoriteration)
betragsgrößter Eigenwert (Vektoriteration)
kleinster Eigenwert (Vektoriteration mit Spektralverschiebung)
größter Eigenwert (Vektoriteration mit Spektralverschiebung)
Inverse Vektoriteration mit Spektralverschiebung
Vektoriteration
Für die Bestimmung des Eigenvektors des betragsgrößten Eigenwertes einer Matrix A kann man folgenden
Algorithmus verwenden:
x n = A x n-1 / | A x n-1 |
Gestartet wird mit einem Vektor x 0, der Zufallszahlen enthält. Falls das Verfahren konvergiert, konvergiert x n gegen den Eigenvektor zum betragsgrößten Eigenwert. Eigenwerte und eigenvektoren rechner der. Der betragsgrößte Eigenwert ist dann bestimmbar mit dem sogenannten Rayleigh-Quotienten:
λ max = x T A x / ( x T x)
Man muss also immer nur die Matrix mit der letzten Näherung multiplizieren und danach den Ergebnisvektor normieren. Ist der Unterschied zwischen 2 Näherungen hinreichend klein, bricht man ab. Inverse Vektoriteration
Die Eigenvektoren der Inversen A -1 einer Matrix sind die gleichen wie die der Matrix A.