Summenregel
Merke
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$f(x)=g(x)+k(x)$
$f'(x)= g'(x)+k'(x)$
Die Summenregel besagt, dass bei einer Funktion, deren Term eine Summe von Funktionen ist, diese Funktionsteile einzeln abgeleitet werden müssen. Daher kommt auch der Name Summen regel. Ableitung der e-Funktion: Beispiele. Sind Funktionsteile, die selbst Funktionen sind, durch ein Minuszeichen verbunden, gilt diese Regel auch. Schauen wir uns zwei Beispiele an:
Beispiel
1. $f(x) = 5x^2+0, 5x$
$f'(x) = 5 \cdot 2 \cdot x ^{2-1} + 0, 5 \cdot x ^{1-1} = 10 x+ 0, 5$
2. $f(x) = x^3 -2 x^2$
$f'(x)= 3 x^2 -4 x$
Weitere Informationen zur Summenregel erhältst du hier: Summenregel
Produktregel
$f(x) = u(x) \cdot v(x)$
$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$
Wenn zwei Teilfunktionen durch ein Malzeichen verbunden sind, wird die Ableitung der Funktion wie folgt gebildet: Du multiplizierst die Ableitung der ersten Teilfunktion mit der zweiten Teilfunktion und addierst nun das Produkt aus der ersten Teilfunktion und der Ableitung der zweiten Teilfunktion.
- Ableitungen beispiele mit lösungen der
Ableitungen Beispiele Mit Lösungen Der
Manche Schüler finden die Vorstellung hilfreich, sich diesen Anteil wegzudenken: $\begin{align*} f'(x) &= \color{#f00}{2} \color{#999}{\cdot \operatorname{e}^{-0{, }5x}} \color{#a61}{+} \color{#1a1}{(2x+6) \cdot (-0{, }5)} \color{#999}{\cdot \operatorname{e}^{-0{, }5x}}\\ &=\color{#999}{\operatorname{e}^{-0{, }5x} \cdot} [\color{#f00}{2} \color{#a61}{+} \color{#1a1}{(2x+6) \cdot (-0{, }5)}]\\ &= \operatorname{e}^{-0{, }5x} \cdot (\color{#f00}{2} \color{#1a1}{- x-3})\\ &= \operatorname{e}^{-0{, }5x} \cdot (- x-1)\end{align*}$ Sobald man etwas Übung hat, lässt man die zweite Zeile weg.
Dahinter stecken folgende Regeln für die Ableitung der Potenzfunktion. Eine Funktion der Form
hat die Ableitung
Zudem gilt:
Die Ableitung von Konstanten (bspw. ) ist. Vorfaktoren bleiben bei der Ableitung erhalten. Bspw. hat die Ableitung
Summen werden getrennt abgeleitet. Wenn du bspw. ableiten möchtest, dann kannst du die Ableitungen von und getrennt ausrechnen und addieren. Das führt zu. Das Ableiten von Polynomen (oder ganzrationalen Funktionen) ist essentiell fürs Abi. Es wäre jammerschade und unnötig, wenn du da Fehler machen würdest. Ableitungen beispiele mit lösungen der. Darum hier ein paar Aufgaben zur Festigung. Dein Ziel sollte sein, dass du diese Aufgaben ohne Nachdenken fehlerfrei lösen kannst. Aufgabe 1
- Schwierigkeitsgrad:
Bestimme die Ableitungen von
Lösung zu Aufgabe 1. (Die Ableitung von ist, Konstanten fallen bei der Ableitung weg. ) Hier hilft es zunächst die Klammern auszumultiplizieren:
Jetzt kannst du die Funktion ableiten und erhältst:. Die Ableitung von e-Funktionen (Exponentialfunktionen)
Auch die Ableitung der Exponentialfunktion ist fürs Abi essentiell
Schau dir zunächst die folgenden Beispiele an.