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Quadratzahlen Bis 30 Tabelle
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Potenzen
Potenzen – Produkte gleicher Faktoren
Inhalt Quadratzahlen Quadratzahlen
Als Quadratzahlen bezeichnet man alle Zahlen, die das Produkt einer natürlichen Zahl mit sich selbst sind. Natürliche Zahlen sind dabei alle ganzen Zahlen größer als $0$, also $1, 2, 3,... $ und so weiter. Der Begriff rührt daher, dass wir uns bei der Multiplikation zweier Zahlen ein Rechteck mit der ersten Zahl als Breite und der zweiten als Höhe vorstellen können. Quadratzahlen bis 300. Sind die erste und die zweite Zahl gleich – multiplizieren wir also eine Zahl mit sich selbst – so ergibt sich ein Rechteck, dessen Höhe gleich seiner Breite ist. Ein solches Rechteck ist ein Quadrat. Sehen wir uns als Beispiel die natürliche Zahl $7$ an. Wenn wir diese mit sich selbst multiplizieren, erhalten wir:
$7\cdot 7 = 49$
Das bedeutet, dass $49$ eine Quadratzahl ist. Man sagt: "$49$ ist die Quadratzahl zu $7$. " Damit wir die Multiplikation einer Zahl mit sich selbst nicht immer ausschreiben müssen, nutzen wir die Potenzschreibweise.
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Die quadratischen Pyramidalzahlen gehören zu den figurierten Zahlen, genauer zu den Pyramidalzahlen. Sie beziffern die Anzahlen von Kugeln, mit denen man eine Pyramide quadratischer Grundfläche bauen kann. Wie die folgende Abbildung es am Beispiel der vierten quadratischen Pyramidalzahl 30 zeigt, sind sie die Summen der ersten Quadratzahlen. Mathe Quadratzahlen 1-30 8. Klasse ⸚ Flashcards | Quizlet. Im Folgenden bezeichne die -te quadratische Pyramidalzahl. Es gilt. Die ersten quadratischen Pyramidalzahlen sind
0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, … (Folge A000330 in OEIS)
Bei einigen Autoren ist die Null keine quadratische Pyramidalzahl, sodass die Zahlenfolge erst mit der Eins beginnt. Erzeugende Funktion [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die erzeugende Funktion der quadratischen Pyramidalzahlen lautet
Beziehungen zu anderen figurierten Zahlen, weitere Darstellungen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Es gilt
mit den Binomialkoeffizienten und
mit den Tetraederzahlen. Außerdem gilt mit, der -ten Dreieckszahl:
Verwandte figurierte Zahlen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die anderen Pyramidalzahlen, z.
B. die Tetraederzahlen. Die Summe zweier aufeinanderfolgender quadratischer Pyramidalzahlen ist eine Oktaederzahl. Sonstiges [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
4900 ist neben dem Trivialfall 1 die einzige Zahl, die zugleich eine Quadratzahl und eine quadratische Pyramidalzahl ist:. Dies wurde von G. N. Watson 1918 bewiesen. Die Summe der Kehrwerte aller quadratischen Pyramidalzahlen ist
(Folge A159354 in OEIS)
Herleitung der Summenformel [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Differenz zweier aufeinander folgenden Quadratzahlen ist immer eine ungerade Zahl. Liste der ersten 15 quadratischen Zahlen. Genauer gilt wegen, dass die Differenz zwischen der -ten und -ten Quadratzahl beträgt. Damit erhält man das folgende Schema:
Eine Quadratzahl lässt sich somit als Summe ungerader Zahlen darstellen, d. h., es gilt. Diese Summendarstellung wird nun benutzt, um die Summe der ersten Quadratzahlen durch zu einem Dreieck arrangierte Menge ungerader Zahlen darzustellen. Die Summe aller im Dreieck auftretenden ungeraden Zahlen entspricht dabei genau der Summe der ersten Quadratzahlen.