Die Gauß'schen Glockenfunktionen sind einerseits Wahrscheinlichkeitsdichten stetiger Zufallsvariablen. Andererseits beschreiben sie die Kontur von Binomialverteilungen unter bestimmten Bedingungen:
- Approximation binomialverteilung durch normalverteilung standardabweichung
Approximation Binomialverteilung Durch Normalverteilung Standardabweichung
Wir betrachten hier das Beispiel einer Binomialverteilung mit n = 45 und θ = 0, 3. Nähern wir P(X ≤ 12) = B(12|45;0, 3) durch Φ(12|45·0, 3; 45·0, 3·0, 7) an, wird nur die halbe Säule addiert, denn die stetige Verteilung kennt keine Säulen. Soll die ganze Säule einbezogen werden, müssen wir bis 12, 5 gehen, also P(X ≤ 12) = B(12|45;0, 3) durch Φ( 12, 5|45·0, 3; 45·0, 3·0, 7). Approximation binomialverteilung durch normalverteilung die. Wenn man mit der Normalverteilung P(X ≤ 12) berechnet, wird nur die halbe Säule addiert
Wenn man mit der Normalverteilung P(X ≤ 12, 5) berechnet, wird die ganze Säule addiert
Den addierten Wert 0, 5 nennt man Stetigkeitskorrektur. Speziell gilt für die Wahrscheinlichkeit P(X = a):
P(X = a) = b(a|n;θ) ≈ Φ(a+0, 5|nθ; nθ(1-θ)) - Φ(a -0, 5|nθ; nθ(1-θ)). Approximation stetiger Verteilungen durch die Normalverteilung
Jetzt haben wir also auch noch stetige Funktionen, die wir mit der Normalverteilung annähern wollen. Was gibt es denn da für welche? Nun, welche die man oft braucht, etwa für Schätzen und Testen, als da wären die χ 2 -Verteilung, die F-Verteilung und die t-Verteilung.
Im Gegensatz zur Approximation der Binomialverteilung durch die POISSON-Verteilung, die nur für kleine Wahrscheinlichkeiten p eine gute Näherung liefert, kann man die Approximation durch die Normalverteilung für jedes p mit 0 < p < 1 anwenden, wenn n nur hinreichend groß ist. Wir betrachten dazu ein Beispiel. Beispiel: Für welche Wahrscheinlichkeiten p benötigt man die wenigsten n, damit die für die Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung geltende Faustregel n ⋅ p ⋅ ( 1 − p) > 9 erfüllt ist? Lösung: Die Aufgabe könnte durch "wildes" Probieren bearbeitet werden. Eine analytische Lösung ist jedoch z. B. dadurch möglich, dass die Faustregel umgeformt wird zu − p 2 + p > 9 n. Approximation Binomialverteilung durch Normalverteilung WTR. Die wenigsten n werden dann benötigt, wenn der Funktionswert f ( p) = − p 2 + p maximal wird. Der Graph (eine quadratische Parabel) von f hat an der Stelle 0, 5 einen Hochpunkt. Die herausgehobene Stellung des Wertes p = 0, 5 wird auch dadurch bestätigt, dass für p = 0, 5 der maximal mögliche Fehler, der bei der Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung begangen wird, am kleinsten ist.