Die Rekonstruktion von Funktionen beschäftigt sich mit dem Aufstellen von Funktionsgleichungen. Bei einigen Rekonstruktionsaufgaben benötigt man die Differenzialrechnung.! Merke
Bei der Rekonstruktion von Funktionen sucht man eine spezielle Funktion, die gegebene Eigenschaften (z. B. Rekonstruktion? (Schule, Mathe). Art, Punkte, Steigung,... ) erfüllt. Dazu stellt man Gleichungen auf und löst diese mithilfe von Gleichungssystemen. i
Vorgehensweise
Funktion und Ableitung
Gleichungen aufstellen
Gleichungen lösen
Funktionsgleichung angeben
Beispiel
Gesucht wird eine Funktion zweiten Grades, die einen Schnittpunkt mit der y-Achse bei $(0|-3)$ und einen Hochpunkt bei $H(3|2)$ besitzt. Funktion und Ableitung Eine Funktion zweiten Grades ist eine quadratische Funktion. Diese sieht folgendermaßen aus: $f(x)=ax^2+bx+c$ Die Ableitung wird auch noch benötigt: $f'(x)=2ax+b$ Ziel ist es nun die Variablen $a$, $b$ und $c$ mit den gegebenen Punkten herauszufinden. Die anderen Informationen werden nun zum Aufstellen von Gleichungen verwendet.
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Erst dann hätte man mit VI und VII das Additionsverfahren anwenden können, um $a$ zu berechnen. Einige Lehrer verlangen, dass die Funktion daraufhin überprüft wird, ob sie auch wirklich den Bedingungen genügt. Da die notwendigen Bedingungen durch das Gleichungssystem bereits erfüllt sind, muss man nur noch die hinreichenden Bedingungen prüfen. In diesem Fall ist also die Frage, ob bei $x=0$ eine Wendestelle und bei $x=2$ eine Minimalstelle vorliegt. Man bildet zunächst die Ableitungen:
$\begin{align*}f'(x)&=4x^3-6x^2-8\\ f''(x) &=24x^2-12x\\ f'''(x)&=48x-12\end{align*}$
Prüfen der hinreichenden Bedingungen:
$f'''(0)=-12\not= 0\;\Rightarrow$ Wendestelle bei $x=0$
$f''(2)=24\cdot 2^2-12\cdot 2 =72>0\;\Rightarrow$ Minimalstelle bei $x=2$
Die Funktionsgleichung erfüllt damit alle Bedingungen. Rekonstruktion - Anwendung Integralrechnung einfach erklärt | LAKschool. Wenn die Frage lautet, ob es eine Funktion mit den genannten Eigenschaften gibt, müssen die hinreichenden Bedingungen auf jeden Fall geprüft werden. Übungsaufgaben
Letzte Aktualisierung: 03. 12. 2015; © Ina de Brabandt
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