Dieser Artikel greift wichtige Symbole im Rechnen mit Mengen und Ereignissen auf. Sei G G eine beliebige Menge, die Grundmenge, und A A und B B Teilmengen der Menge G G. Mengenverknüpfungen/-operationen Name Schreibweise Bedeutung Schnittmenge A A geschnitten B B Die Menge, deren Elemente sowohl in A A, als auch in B B sind. Vereinigungsmenge A A vereinigt B B Die Menge, deren Elemente in A A oder in B B oder auch in beiden Mengen A A und B B sind. Finale Motivierung. Symmetrische Differenz Die symmetrische Differenz von A A und B B Die Menge, deren Elemente nur in A A oder nur in B B liegen, aber nicht in A A und B B. Komplementärmenge A ‾ \overline{A} oder A c A^c nicht A A oder das Komplement von A A Die Menge aller Elemente, die nicht in A A liegen. Differenzmenge A A ohne B B Die Menge aller Elemente, die in A A, aber nicht in B B liegen Produktmenge Die Produktmenge von A A und B B Die Menge aller Paare, deren erstes Element in A A und deren zweites Element in B B liegt. Beispiel Als Beispiel verwenden wir folgende Mengen: Zur Veranschaulichung siehe auch: Venn-Diagramme Mengenbeziehungen/-relationen Zu Veranschaulichung verwenden wir folgende Beispielmengen: Beziehung Schreibweise Bedeutung Gleichheit Die Elemente der Mengen A A und B B sind identisch.
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- Vereinigung und Schnitt von Ereignissen
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Verknüpfung Von Ereignissen Wahrscheinlichkeitsrechnung • 123Mathe
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Beziehungen und Verknüpfungen von Ereignissen
Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten
Ereignisalgebra
Inhalt Was ist ein Ereignis? Wie ist eine Wahrscheinlichkeit definiert? Der Schnitt von Ereignissen Die Vereinigung von Ereignissen Die Summenregel Der Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten Was ist ein Ereignis? Erinnerst du dich noch daran was ein Zufallsexperiment ist? Es ist ein Experiment, dessen Ergebnis du nicht vorhersagen kannst, da es vom Zufall abhängt. So ein Zufallsexperiment ist zum Beispiel das Werfen eines Würfels. Ein Zufallsexperiment hat verschiedene mögliche Ergebnisse. Beim Würfeln wären es die Augenzahlen von $1$ bis $6$. Alle möglichen Ergebnisse werden zusammengefasst in der Ergebnismenge $\Omega$. Verknüpfung von ereignissen venn diagramm. Ein Ereignis ist nun eine Teilmenge aus $\Omega$. Beim Würfeln könnte man das Ereignis, nur gerade Zahlen zu Würfeln, wie folgt definieren:
$E=\{~2;~4;~6\}$. Spezielle Ereignisse sind:
Die Ergebnismenge $\Omega$ wird als sicheres Ereignis bezeichnet.
Allgemeine Hilfe zu diesem Level
Überlege: Liegt ein Element der abgebildeten Menge in A oder nicht? Liegt es in B oder nicht? Liegt es zugleich in mehreren Mengen? Zur Erinnerung:
∩ bedeutet "und zugleich" also Schnittmengenbildung. ∪ bedeutet "im einen oder im anderen" also Vereinigungsmenge = "alles in einen Topf". Tastatur
Tastatur für Sonderzeichen
Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen. Überlege: Tritt Ereignis A ein? Tritt Ereignis B ein? Treten beide zugleich ein? Oder sind die beiden Ereignisse anders verknüpft? Beachte auch den Unterschied von "Oder" und "Entweder oder". In der Stochastik bedeutet "x liegt in A oder in B", dass x in A oder in B oder in beiden Mengen zugleich liegen kann. Verknüpfung von ereignissen aufgaben. Möchte man ausdrücken, dass x in A oder in B aber nicht in beiden zugleich liegt, so sagt man explizit: "x liegt entweder in A oder in B. " "Mindestens eines" heißt bei zwei Ereignissen: A oder B oder beide aber nicht keines. "Höchstens eines" heißt bei zwei Ereignissen: Entweder A oder B oder keines von beiden aber nicht beide zugleich.
Vereinigung Und Schnitt Von Ereignissen
Die Eigenschaft wird mit der Schreibweise
(2. 8)
dargestellt. Ist die Menge C kein Element der Menge A, ergibt sich die Schreibweise
(2. 9)
Teilmenge
Ist eine Menge D komplett in einer anderen Menge A enthalten, ist die Menge D eine Teilmenge von der Menge A. Dafür wird die Schreibweise
(2. 10)
verwendet. Vereinigung und Schnitt von Ereignissen. Vereinigungsmenge
Mit A È B wird das Ereignis bezeichnet, bei dem das Ereignis A oder das Ereignis B eintrifft. In der Mengenlehre wird von der Vereinigungsmenge der Ereignisse A und B gesprochen. In dem Beispiel aus Bild 2. 1 umfasst die Vereinigungsmenge A È B die Elemente
(2. 11)
Die Vereinigungsmenge A È B der Ereignisse A und B sind also Würfe mit den Augenzahlen 2, 3, 4 oder 6. Schnittmenge
Mit A Ç B wird das Ereignis bezeichnet, bei dem das Ereignis A und das Ereignis B zusammen eintreffen. In der Mengenlehre wird von der Schnittmenge der Ereignisse A und B gesprochen. 1 umfasst die Schnittmenge A Ç B das Element
(2. 12)
Die Schnittmenge A Ç B der Ereignisse A und B ist ein Wurf mit einer Augenzahl 6.
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Ereignisalgebra. Erforderliches Vorwissen Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch mit zufälligem Ausgang. Der Ausgang eines Zufallsexperiments heißt Ergebnis $\omega$ ( Klein-Omega). Die Menge aller möglichen Ergebnisse heißt Ergebnisraum $\Omega$ ( Groß-Omega). Verknüpfung von Ereignissen Wahrscheinlichkeitsrechnung • 123mathe. Jede Teilmenge $E$ des Ergebnisraums $\Omega$ heißt Ereignis. Ein Ereignis $E$ tritt ein, wenn das Ergebnis $\omega$ ein Element von $E$ ist. Beispiel 1 Zufallsexperiment Werfen eines Würfels Ergebnisse $\omega_1 = 1$, $\omega_2 = 2$, $\omega_3 = 3$, $\omega_4 = 4$, $\omega_5 = 5$, $\omega_6 = 6$ Ergebnisraum $$\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5, \omega_6\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$ Ereignis $$E\colon \text{"Gerade Augenzahl"} \quad \Rightarrow \quad E = \{2, 4, 6\}$$ Ereignis tritt ein Wir würfeln eine $4$ $\Rightarrow$ $E = \{2, 4, 6\}$ ist eingetreten. Was ist das? Da ein Ereignis eine Menge ist, handelt es sich bei der Ereignisalgebra letztlich um Mengenalgebra.
Finale Motivierung
Der Artikel stellt die Verbindung zwischen Mengentheorie und Wahrscheinlichkeitsrechnung her. Verknüpfte Ereignisse und die Summenregel werden vorgestellt. Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
2. Beispiele für verknüpfte Ereignisse
2. 1. Beispiel 1
2. 2. Beispiel 2
3. Häufig genutzte Verknüpfungen
4. Summenregel
5. Unvereinbare Ereignisse
6. Quiz
7. Links
Schnellübersicht
Ereignisse sind Mengen von Elementarereignissen. Mehrere Ereignisse können mit Mengenoperationen (Schnittmenge/∩, Vereinigungsmenge/∪) verknüpft werden (=verknüpfte Ereignisse). Einfache Regeln:
Ereignis A oder B: P(A ∪ B) A und B: P(A ∩ B) Schwierigere Regeln:
Summenregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Zuvor wurde erläutert, dass Ereignisse Mengen von Elementarereignissen sind und welche grundsätzlichen Operationen für Mengen zur Verfügung stehen (speziell Vereinigungsmenge und Schnittmenge). Dementsprechend ist es möglich, Ereignisse mit Hilfe dieser Operationen zu verbinden, sogenannte verknüpfte Ereignisse. Solch eine Berechnung könnte ungefähr wie folgt aussehen: P(A ∪ B) =... = 0, 5.
Beispiele zu verknüpften Ereignissen Wieder werfen wir den Würfel. Dabei legen wir folgende Ereignisse fest: A: Die Augenzahl ist kleiner als 4. B: Die Augenzahl ist eine ungerade Zahl. C: [ 4; 5] Unvereinbare Ereignisse Merke: Lösung der Übung: Wir legen ein neues Ereignis wie folgt fest: D: Die Augenzahl ist größer als 3 oder die Augenzahl ist eine gerade Zahl. Wie lautet die Ereignismenge D hierzu? Lösung: Aufgaben hierzu: Aufgaben Ereignissen und Verknüpfungen von Ereignissen I und Aufgaben zu Ereignissen und Verknüpfungen von Ereignissen II
Geschichte [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Vor dem Zweiten Weltkrieg [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Historisch hatte die Lange Straße im Gegensatz zu der heute aus Kröpeliner Straße, Hopfenmarkt und Blutstraße gebildeten südlicher gelegenen Verkehrsachse eher untergeordnete Bedeutung. Hier standen schlichte Zweckbauten, Buden und einfachere Giebelhäuser. Die Hochwertigkeit der Bebauung nahm allerdings in Richtung Osten zu. Bis zum Bau der Steintor-Vorstadt an der vorletzten Jahrhundertwende war sie die längste Straße Rostocks. Sehr viele Häuser in der Langen Straße wurden im späten 19. und frühen 20. Jahrhundert im Stil des Historismus umgebaut, wie z. B. das Mecklenburgische Oberlandesgericht (Nummer 65) an der Ecke zur Badstüberstraße. Die historische Lange Straße wurde während des Vier-Nächte-Bombardements durch die Royal Air Force im Zweiten Weltkrieg vom 23. bis zum 27. April 1942 zum größten Teil vernichtet, lediglich im Abschnitt zwischen Schnickmann- und Wokrenterstraße blieben einige Gebäude stehen.
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Lange Straße in Rostock
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