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Wenn Sie ein normales Fünfeck mit der Diagonale zeichnen, erhalten Sie das 36 ° -72 ° -72 ° -Dreieck ABC (Beweis siehe nächste Abbildung). In diesem Dreieck schneidet die Winkelhalbierende des 72 ° -Winkels die gegenüberliegende Seite im goldenen Schnitt. D teilt den Abstand AC stetig, d. h. D teilt AC so, dass CA: CD = CD: DA. (Das Seitenverhältnis der gesamten Distanz zur längeren Distanz ist dasselbe wie die längere Distanz zur kürzeren Distanz. ) Für den Beweis verwenden wir die folgenden Sätze für die ähnlichen Dreiecke ABC und DAB:
Zwei Dreiecke mit gleichen Winkeln sind ähnlich. (Eine ausreichende Bedingung. ) In zwei ähnlichen Dreiecken verhalten sich entsprechende Seiten gleich (notwendige Bedingung). (Nächste nächste Abbildung. ) Zunächst müssen wir noch zeigen, dass ABC ein 36 ° -72 ° -72 ° -Dreieck ist. Dies ergibt sich unmittelbar aus der Tatsache, dass die Innenwinkel eines Fünfecks 108 ° betragen (Formel (n-2) x 180 ° / n für n = 5).
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Im Einzelnen: Beginnen wir mit dem Mittelpunktswinkel QMP bei M des regulären Fünfecks: Dies ist 360 ° / 5 = 72 °. Die übrigen Winkel können immer nach dem gleichen Schema berechnet werden: Ist ein Winkel in einem gleichschenkligen Dreieck bekannt, so sind die beiden anderen aufgrund der Winkelsumme von 180 ° berechenbar. Die Innenwinkel des Dreiecks MPQ bei P und Q betragen (180 ° - 72 °) / 2 = 54 °. Der Innenwinkel des Fünfecks bei Q beträgt also 2 x 54 ° = 108 °. Der zweite, der kleinere Winkel bei Q, beträgt 180 ° - 108 ° = 72 ° und der Winkel bei C beträgt 180 ° - 2 × 72 ° = 36 °. Aus der vorhergehenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Winkel bei A und B (180 ° -36 °) / 2 = 72 ° sind. 72 ° -72 ° -36 ° Dreieck
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