In der Praxis werden sehr große oder sehr kleine Werte oft in der Form a · 10 n geschrieben, wobei 1 ≤ a < 10, z. B. 5 723 000 = 5, 723 · 10 6
"verschiebe bei 5, 723 das Komma um 6 Stellen nach rechts"
0, 00095 = 9, 5 · 10 -4 "verschiebe bei 9, 5 das Komma um 4 Stellen nach links"
Man spricht hier auch von wissenschaftlicher Notation. Multiplikation und Division von Potenzen mit gleicher Basis:
a p · a q = a p + q
a p: a q = a p − q
Multiplikation und Division von Potenzen mit gleichem Exponent:
a q · b q = (a · b) q
a q: b q = (a: b) q
Potenz einer Potenz:
(a p) q = a p·q
Sei r eine positive rationale Zahl. Potenz berechnen. Dann gilt
b −r = 1 / b r
Sei b ≥ 0 und n eine natürliche Zahl. Dann gilt
b 1/n = n √b
Sei b ≥ 0, m und n natürliche Zahlen. Dann gilt
b m/n = n √(b m) = ( n √b) m
Schreibe jeweils als Potenz (ohne Wurzelzeichen) mit möglichst einfacher Basis:
Vereinfache jeweils so, dass die Variable nicht im Nenner oder unter der Wurzel steht:
Zwei Terme T 1 und T 2 sind äquivalent, wenn sie die gleichen Defintionsmengen besitzen und bei jeder Einsetzung aus der Definitionsmenge den selben Wert annehmen.
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a > 0 und
m,
a m n = a m n und
1 a m n = a - m n
Du kannst also jede Wurzel als Potenz mit rationalem Exponenten und jede Potenz mit rationalem Exponenten als Wurzel schreiben. Bei der Berechnung einer Potenz mit rationalem Exponenten ist es egal, ob du erst die Wurzel ziehst und dann potenzierst oder umgekehrt. 8 2 3 ist die 3. Wurzel aus der 2. Potenz von
8 2 3 ist die 2. Potenz der 3. Wurzel aus 8. In manchen Fällen bietet sich eine bestimmte Reihenfolge aber an. Sind Wurzelexponent und Exponent des Radikanden nicht teilerfremd, kannst du den Radikanden als Potenz schreiben, bei der der Exponent gekürzt werden kann. Dadurch kann sich aber der Definitionsbereich ändern. Potenzgesetze
Für Potenzen mit rationalen Exponenten gelten die Potenzgesetze. Potenzen mit gleichen exponenten rechner en. Potenzen mit gleicher Basis Für rationale Zahlen
r und
s und positive reelle Zahlen
a gilt:
a r · a s = a r + s und
a r: a s = a r - s
Fasse
7 1 2 · 7 1 4 zusammen und schreibe als Wurzel. 5 1 2: 5 1 4 zusammen und schreibe als Wurzel. Potenzen mit gleichem Exponenten Für rationale Zahlen
r und positive reelle Zahlen
a und
b gilt:
a r · b r = a b r und
a r: b r = a: b r
5 3 4 · 7 3 4 zusammen und schreibe als Wurzel.
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Zu jedem Potenzgesetz ein Beispiel:
\(3^2\cdot 3^4=3^{2+4}=3^6=729\)
\(2^3\cdot 4^3=(2\cdot 4)^{3}=8^3=512\)
\(4^{2^{3}}=4^{2\cdot 3}=4^6=4096\)
\(\frac{3^2}{4^2}=(\frac{3}{4})^{^{2}}=0, 5625\)
\(\frac{3^4}{3^2}=3^{4-2}=3^2=9\)
This browser does not support the video element. Wie du siehst ist das Rechnen mit Potenzen einfach, vorallem dann wenn man sich die Potenzregeln merkt. Exponentenrechner | Exponentenberechnungstool. Wie immer kannst du probieren die folgenden Aufgaben zu lösen, so kannst du das Potenzrechnen üben. Dein Ergebnis kannst du mit dem Schritt für Schritt Rechner von Simplexy überprüfen. Aufgaben:
\((3+4)^2\cdot (2-1)^4=\)
\(\bigl((3+2)^4-(4-2)^3\bigr)^5=\)
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Diese durch drei teilbaren Exponenten haben sich auch im Sprachgebrauch festgesetzt. Hier eine Übersicht (Schreibweise, Präfixe | Zahlennamen):
—–
10 -12 = 0, 000000000001 ≡ Pico
10 -9 = 0, 000000001 ≡ Nano
10 -6 = 0, 000001 ≡ Mikro
10 -3 = 0, 001 ≡ Milli
10 -2 = 0, 01 ≡ Zenti
10 -1 = 0, 1 ≡ Dezi
10 0 = 1 | Eins
10 1 = 10 ≡ deka | Zehn
10 2 = 100 ≡ hekto | Hundert
10 3 = 1000 ≡ kilo | Tausend
10 6 = 1000000 ≡ Mega | Millionen
10 9 = 1000000000 ≡ Giga | Milliarde
10 12 = 1000000000000 ≡ Tera | Billion
Positive/negative Exponenten
Positive Exponenten geben an, wieviele Nullen die Zahl hat, bspw. Potenzen mit gleichen exponenten rechner der. 10 6 = 1000000 (sechs Nullen). Negative Exponenten geben an, die wievielte Stelle nach dem Komma die Zahl unleich Null ist, bspw. 10 -6 = 0, 000001 (sechste Stelle nach dem Komma). Mit einem Klick finanziert
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Online Rechner mit Rechenweg
Mit dem Online Rechner von Simplexy kannst du viele Matheaufgaben berechnen und dabei den Rechenweg erhalten. Mit dem Rechner kannst du auch ganz bequem Potenzen berechnen. Rechnen mit Potenzen
In diesem Kapitel wird das Thema Potenzrechnung behandelt. Wie rechnet man Potenzen aus und welche Potenzregeln gibt es. Du wirst sehen wie man mit Klammern und Potenzen umgeht und wie man die Potenz einer negativen Zahl berechnet. Desweiteren wirst du lernen wie man die Potenz eines Bruchs ausrechnest und wie man mit einer negativen Potenz umgeht. Mit dem Potenzrechner von Simplexy kannst du beliebige Potenz Aufgaben lösen und überprüfen. Potenzrechnung ist ganz einfach, eine Potenz ist lediglich eine Abkürzung für die Multiplikation. Potenzen mit gleichen exponenten rechner videos. Möchte man zum Beispiel die Zahl \(2\), \(5\) mal mit sich selber multiplizieren so kann man \(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 \) schreiben. Das kann auf dauer zur viel Schreibarbeit führen, wesshalb man auch eine andere schreibweise verwenden kann.
Eine Potenz ist in der Mathematik das, was herauskommt, wenn man eine Zahl mehrfach mit sich selbst multipliziert. Beispiel:
2 5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
Die Zahl, die multipliziert wird, heißt Basis (im Beispiel die 2). Die Zahl, die angibt, wie oft multipliziert wird, heißt Exponent (im Beispiel die 5). Das Ergebnis ist die Potenz. Mit diesem Online-Rechner berechnen Sie die Potenz einer Zahl mit einem beliebigen Exponenten. Geben Sie dazu die gewünschte Basis und den Exponenten ein. Die Basis kann jede beliebige Zahl größer/gleich Null sein,
der Exponent kann jede beliebige Zahl einschließlich negativer Zahlen sein. Klicken Sie dann auf Berechnen. Das Ergebnis zeigt die gesuchte Potenz. Zusätzlich wird die Potenzfunktion zum angegebenen Exponenten als Graph dargestellt. Der Punkt markiert die gesuchte Potenz auf dem Graph. Potenzgesetze - Potenzen mit gleichen Hochzahlen / Exponenten - Mathematikaufgaben und Übungen | Mathegym. Die einfachste Potenz ist das Quadrat einer Zahl. Hier wird die Basis einmal mit sich selbst multipliziert. Beispiel:
2 2 = 2 × 2 = 4
Ist der Exponent = 0, ist die Potenz per Definition immer = 1, unabhängig vom Wert der Basis.
Überprüfe jeweils auf Äquivalenz:
Sei T(x) ein beliebiger Term und r eine rationale Zahl. Die Gleichung
T(x) r = a
lässt sich (evtl. ) lösen, indem man beide Seiten zunächst mit "1/r" potenziert. Dadurch erhält man:
T(x) = a 1/r
Keine Lösung erhält man z. B., wenn a negativ und r
eine gerade Zahl ist: x² = -1 (x² nie negativ)
eine echt rationale Zahl ist: x 1/3 = -1 (Ergebnis eines Wurzelterms nie negativ)
Löse die folgenden beiden Gleichungen: