Diskrete Zufallsvariable
Die Anzahl der Ergebnisse des Zufallsexperiments ist endlich / abzählbar. Eine diskrete Zufallsvariable ist durch die Angabe ihres Wertebereichs \({x_1}, {x_2},..., {x_n}\) und den Einzelwahrscheinlichkeiten fur das Auftreten von jedem Wert des Wertebereichs, also \(P\left( {X = {x_1}} \right) = {p_1}, \, \, \, P\left( {X = {x_2}} \right) = {p_2},... P\left( {X = {x_n}} \right) = {p_n}\) vollständig definiert. Zufallsvariablen im diskreten und stetigen Fall · [mit Video]. Man spricht von der Wahrscheinlichkeitsfunktion, welche es nur für diskrete Zufallsvariablen gibt. (Bei stetigen Zufallsvariablen gibt es entsprechend die Dichtefunktion. ) Spezielle Verteilungen diskreter Zufallsvariabler sind
Bernoulli-Verteilung
Binomialverteilung (mit Zurücklegen)
Poissonverteilung
hypergeometrische Verteilung (ohne Zurücklegen)
Wahrscheinlichkeitsfunktion
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion, welche es nur für diskrete Zufallsvariablen gibt, beschreibt eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, indem sie jedem \(x \in {\Bbb R}\) einer Zufallsvariablen X genau eine Wahrscheinlichkeit P aus dem Intervall \(\left[ {0;1} \right]\) zuordnet.
- Diskrete zufallsvariable aufgaben des
- Diskrete zufallsvariable aufgaben referent in m
- Diskrete zufallsvariable aufgaben der
Diskrete Zufallsvariable Aufgaben Des
Varianz
Die Varianz einer diskreten Zufallsvariablen ist die mittlere quadratische Abweichung der Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert und somit ein Streumaß der beschreibenden Statistik. \({\sigma _x}^2 = Var\left( X \right) = {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{x_i} - E\left( x \right)} \right)} ^2} \cdot P\left( {X = {x_i}} \right)\)
Verschiebungssatz
Der Verschiebungssatz für diskrete Zufallsvariablen kann den Rechenaufwand für die Berechnung der Varianz verringern, es kann aber zum Verlust von Rechengenauigkeit kommen. Diskrete zufallsvariable aufgaben referent in m. \({\sigma _x}^2 = Var\left( X \right) = E\left( {{X^2}} \right) - E{\left( X \right)^2} = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_1}^2 \cdot P\left( {X = {x_i}} \right) - E{{\left( X \right)}^2}} \)
Standardabweichung
Die Varianz hat den Nachteil, als Einheit das Quadrat der Einheit der zugrunde liegenden Zufallsvariablen zu haben. Das ist bei der Standardabweichung (auf Grund der Quadratwurzel) und beim Erwartungswert nicht der Fall. \({\sigma _x} = \sqrt {Var\left( X \right)} \)
Physikalische Analogie für den Erwartungswert und für die Varianz:
Physikalisch entspricht der Erwartungswert dem Schwerpunkt.
\(f:x \to p\)
\(f:x \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {P\left( {X = {x_i}} \right)}&{für\, \, x = {x_i}}\\ 0&{für\, \, \, x \ne {x_i}} \end{array}} \right. Aufgaben über Zufallsvariable, Diskrete und Kontinuierliche Verteilungen | SpringerLink. \)
Funktionsgraph der Wahrscheinlichkeitsfunktion
Im Funktionsgraph der Wahrscheinlichkeitsverteilung werden über jedem (diskreten) Wert x die jeweilige Wahrscheinlichkeit P(X=x) dargestellt, wobei die einzelnen Wahrscheinlichkeiten P(X=x) mit Hilfe der Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnet werden. Im Stabdiagramm wird über jedem (diskreten) Wert x ein Stab (dünner Balken) aufgetragen, dessen Höhe der jeweilige Wahrscheinlichkeit P(X=x) entspricht. Strecke f
Strecke f: Strecke A, B
Strecke g
Strecke g: Strecke C, D
Strecke h
Strecke h: Strecke E, F
P(1)=0, 3
Text1 = "P(1)=0, 3"
P(2)=0, 5
Text2 = "P(2)=0, 5"
P(3)=0, 2
Text3 = "P(3)=0, 2"
P(x)
Text4 = "P(x)"
x
Text5 = "x"
Verteilungsfunktion
Die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen, auch kumulative Verteilfunktion genannt, gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die Zufallsvariable X höchstens den Wert x annimmt.
Diskrete Zufallsvariable Aufgaben Referent In M
Beispiele und Aufgaben im Modul I-4 Zufallsvariablen und ihre Verteilung
1. Beispiele
a) Beispiel einer diskreten Dichtefunktion
Ein weiteres Beispiel einer diskreten Dichtefunktion behandelt das Würfeln mit einem Würfel. Dazu werden der Ereignisraum, die Wahrscheinlichkeitsfunktion, der Erwartungwert und die Varianz bestimmt:
Erwartungsraum und Wahrscheinlichkeitsfunktion:
Erwartungswert:
Varianz:
Eine praktische Anwendung: Gesetzt den Fall, Sie spielen ein Würfelspiel, bei dem Sie dem Gegner bei einem entsprechenden Einsatz die geworfene Augenzahl in EUR auszahlen. Wie hoch muss der Einsatz mindestens sein, damit Sie im Schnitt nicht daraufzahlen? Antwort: Sie verlangen als Einsatz mindesten den Erwartungswert von 3, 50 EUR. b) Beispiel einer stetigenen Dichtefunktion
Bezüglich der formelmäßigen und graphischen Darstellung von stetigen Dichtefunktionen wird wegen deren Komplexität auf das nächste Kapitel verwiesen. Diskrete zufallsvariable aufgaben des. 2. Aufgaben
a) Aufgabe zur diskreten Wahrscheinlichkeitsfunktion
Es wird mit zwei Würfeln gewürfelt.
Aufgaben zur Verteilung von Zufallsvariablen
1) Ein Würfel wird zweimal geworfen. X ist
a) die Summe der Augenzahlen
b) der Betrag der Differenz der Augenzahlen
c) die größerer der beiden Augenzahlen
gibt die Verteilung der Zufallsvariablen in einer Tabelle und als
Strecken-Diagramm an. 2) Eine Münze wird so lange geworfen,
bis eine der beiden Seiten zum zweiten Mal erscheint. Maximal wird aber
10 x geworfen. Überlege dir die Wahrscheinlichkeiten anhand eines
Baumgraphen und gib die Verteilung der Zufallsvariable an, wenn X die Anzahl
der Würfe ist. Wie groß sind Erwartungswert und Varianz. 3) Ein L-Würfel wird geworfen bis einmal eine
Sechs erscheint. Maximal wird aber 10x geworfen. Zufallsvariablen | MatheGuru. X ist die Anzahl der
Würfe. Berechne den Erwartungswert. 4) Zwei Maschinen verfertigen Werkstücke
von der vorgeschriebenen Länge 50, 0mm. Untersuchungen über
Abweichungen ergeben folgende Verteilungen für die Längen (X
und Y):
Die Erwartungswerte für X und Y sind gleich und betragen
50, 0mm. Überprüfe das.
Diskrete Zufallsvariable Aufgaben Der
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