Lineare Differentialgleichungen - online Rechner
Es wird die analytische Lösung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten erzeugt und grafisch dargestellt. Die unabhängige Variable ist hier x, die abhängige Variable ist y, d. h. y = y(x). Beispiel einer inhomogenen Dgl. 2. Ordnung:
y'' + y' + 9y = sin(3x)
Für die partikuläre Lösung der inhomogenen Dgl. wird die übliche Ansatztechnik verwendet, die sich am Typ der rechten Seite orientiert. Zulässige rechte Seiten sind: a·cos(b·x), a·sin(b·x), a·exp(b·x) und a·x c mit a, b ∈ ℝ und c ∈ ℕ₀. Für das Anfangswertproblem müssen bei einer Dgl. Differentialgleichung, Differenzialgleichung lösen, einfaches Beispiel | Mathe by Daniel Jung - YouTube. n-ter Ordnung n Anfangsbedingungen
y(0)=r 0, y'(0)=r 1,... y (n-1) (0)=r n-1 mit r i ∈ ℝ
erstellt werden. Damit werden dann die freien Koeffizienten C i der allgemeinen Lösung der homogenen Dgl. unter Beachtung der partikulären Lösung bestimmt. Bei einem Randwertproblem hingegen werden an den Rändern des zu untersuchenden Gebietes n Vorgaben für die Lösung y(x) und/oder ihre Ableitungen gemacht.
Differentialgleichung, Differenzialgleichung Lösen, Einfaches Beispiel | Mathe By Daniel Jung - Youtube
Das Diffenrentialgleichungssystem ist gegeben als:
DGL 1: y 1 ′ = f(x, y 1, y 2)
DGL 2: y 2 ′ = g(x, y 1, y 2)
Numerische Lösung des DGL-Systems
Die Lösung des DGL-Systems wird numerisch berechnet. Es können die Verfahren Heun, Euler and Runge-Kutta 4. Ordnung ausgewählt werden. Die Anfangswerte y 01 and y 02 können in der Grafik durch Greifen der Punkte variiert werden. Der Wert für x 0 kann im Eingabefeld gesetzt werden. Bei der Definition der Funktionen f(x, y 1, y 2) und g(x, y 1, y 2) können die Parameter a, b und c verwendet werden. Die drei Parameter können mit den Schiebereglern verändert werden. Die Anzahl der Gitterpunkte im Phasenraumdiagramm kann im Eingabefeld festgelegt werden. Im Phasenraumdiagramm wird y 2 über y 1 dargestellt. Seitenverhältnis:
Schritte:
Methode:
DGL 1: y 1:
DGL 2: y 2:
Lösung im Phasenraum
Verschieben des Startpunktes ändert die Anfangswerte. Gitterpunkte:
Skalierung=
Funktion:
Gittervektoren:
y 1 ′ = f(x, y 1, y 2) =
y 2 ′ = g(x, y 1, y 2) =
cl
ok
Pos1
End
7
8
9
/
x
y 1
y 2
4
5
6
*
a
b
c
1
2
3
-
π
()
0.
Beispiel: y´(x) + 2·y(x) = 0 (gewöhnliche lineare Funktion):
gewöhnlich, da die DGL nur von der Variable "x" abhängt
linar, da in der Gleichung einmal die Ableitung y´(x) und zweimal die Funktion y(x) vorkommt. Allgemein: y´(x) = a·y(x)
Diese Gleichung kann man auch als homogene, gewöhnliche lineare Differentialgleichung bezeichnen, denn ähnlich wie bei homogenen linearen Gleichungen liegt hier ein "mathematischer Ausdruck" der Form "a + b = 0" vor => homogen. Lösungsvorschlag
Im Grunde ist die Integration nichts anders als die umgekehrte Ableitung. Eine Möglichkeit, eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung zu integrieren ist die sog. Potenzregel. Ziel der Potenzregel ist es, Funktionen der Form f'(x) = y´(x) = a·x n zu integrieren. 1. Schritt: Man bringt die gegebene DGL auf die Form y´(x) = a·x n. 2. Schritt: Bei der Potenzregel wird die Hochzahl der Funktion betrachtet, die integriert werden soll. Zu dieser (Hochzahl) addiert man die Zahl 1 und diese neue Zahl schreibt man als den neuen Exponenten und teilt gleichzeitig die Funktion durch diese Zahl
Allgemeine Formel
Eine Möglichkeit, eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung zu integieren ist die sog.