Berechnung des Erwartungswertes:
Multipliziere jeden Wert x i von X mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit P(X=x i)
Addiere alle so erhaltenen Werte. Als Formel: μ(X)=x 1 · P(X=x 1)+ x 2 · P(X=x 2) +... + x n · P(X=x n)
Standardabweichung σ(X) (lies: "sigma von X")
Die Standardabweichung einer Zufallsgröße X gibt grob gesagt an, wie stark die Wahrscheinlichkeitsverteilung um den Erwartungswert gestreut ist. Bestimme den Erwartungswert μ.
Subtrahiere den Erwartungswert von jedem Wert x i den die Zufallsgröße annehmen kann. Multipliziere die Ergebnisse mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit. Addiere alle so erhaltenen Produkte. Als Formel: σ(x) = √ Σ (x i − μ) 2 · P(X = x i)=√ [(x 1 − μ) 2 · P(X = x 1)+ (x 2 − μ) 2 · P(X = x 2) +... Erwartungswert standardabweichung aufgaben lösungen online. + (x n − μ) 2 · P(X = x n)]
Paul hat sich ein Glücksspiel überlegt: Es wird mit einem Würfel gewürfelt. Beim Würfeln einer Quadratzahl erhält der Spieler 5 Euro, ansonsten muss der Spieler 2 Euro zahlen. Lässt du dich auf das Spiel ein? Berechne Erwartungswert und Standardabweichung und interpretiere.
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Bei der Übungsaufgabe "Schuhgrößen" bietet sich auch eine Erhebung im eigenen Kurs an, um so z. B. auf Streuung und Stichprobenumfang einzugehen. Hinweise zu den Unterrichtsstunden und Materialien. Es kann auch der Erwartungswert (Mittelwert) und die Standardabweichung der verhältnismäßig kleinen Stichprobe "unser Kurs" ermittelt werden und mit den gegebenen Werten vergleichen werden. Stunde 10 – 11: Komplexere Übungen oder mögliche Vertiefungen
Komplexere Übungen stellen z. anwendungsbezogene Problemstellungen dar, für deren Lösung sowohl die Binomial- als auch die Normalverteilung zur Modellierung herangezogen werden. Bei der Übungsaufgabe "Körpergrößen" bietet sich wieder eine Erhebung im eigenen Kurs an, allerdings sollte im Falle auffällig großer oder auffällig kleiner Schüler oder Schülerinnen sensibel vorgegangen werden. Als mögliche Vertiefung eignet sich die Herleitung und Anwendung der Sigma-Regeln. Unterrichtsgang: Herunterladen [pdf][185 KB]
Unterrichtsgang: Herunterladen [docx][56 KB]
Weiter zu Planarbeit: Wiederholung der Binomialverteilung
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Der Spieler wird also langfristig um Cent benachteiligt. Das Spiel ist also nicht fair. Damit es ich um ein faires Spiel handelt, muss der zu erwartende Gewinn Euro betragen. Erwartungswert standardabweichung aufgaben lösungen pdf. Da die Gewinne gleich bleiben sollen, kann man nur etwas am Einsatz und somit dem möglichen Verlust ändern. 10\cdot0, 3472+20\cdot0, 0694+30\cdot0, 0046-x\cdot0, 5787=&0&\quad\scriptsize\\
4, 998-0, 5787\cdot x=&0&\\
-0, 5787\cdot x=&-4, 998&\\
x\approx&8, 64&\\
$x\approx&8, 64&\__DOLLARSIGN__
Der faire Einsatz beträgt somit $8, 64$ Euro.
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Stunde 1 – 3: Wiederholung der Binomialverteilung:
Im ersten Teil einer Planarbeit soll in den Vorüberlegungen die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße (Sammelfiguren in Überraschungseiern) für eine relativ kleine Kettenlänge bestimmt werden. Dadurch wird gewährleistet, dass eventuell auch ein Baumdiagramm zur Lösung des Problems herangezogen werden kann. Mithilfe des eingeführten Schulbuchs oder auch des ausgelegten Infoblattes frischen die Schülerinnen und Schüler ihre Kenntnisse auf über:
Bernoulli-Versuch, Bernoulli-Kette, Binomialverteilung, die Formel von Bernoulli
Singuläre (Einzel-) und kumulierte Wahrscheinlichkeiten
Erwartungswert und Standardabweichung* binomialverteilter Zufallsgrößen
* Für die Abiturjahrgänge 2021 & 2022 kann der Begriff der Standardabweichung nicht vorausgesetzt werden und muss eventuell neu eingeführt werden. Erwartungswert standardabweichung aufgaben lösungen kursbuch. An die Bearbeitung von Umkehraufgaben zur Formel von Bernoulli (Bestimmen von k; n oder p) ist im Basisfach standardmäßig nicht gedacht.
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Das neu Erarbeitete wird in der dritten Phase anhand einer Aufgabe eingeübt und vertieft. Erwartungswert Definition? (Schule, Mathematik, Oberstufe). Den Abschluss dieser Übungsphase bildet eine aus dem gleichen Sachkontext stammende Teilaufgabe, welche die Anwendung der Binomialverteilung erfordert. Nach dieser Einführung folgt nun eine Übungsphase zu folgenden Aufgabentypen:
Abgrenzung binomial- / normalverteilte Zufallsgrößen
Skizzieren der Glockenkurve eines annähernd normalverteilten Datensatzes
Näherungsweises Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten durch Abschätzen des Flächeninhalts unter einer Glockenkurve
Ggf. erster Einsatz des WTR zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei normalverteilten Zufallsgrößen
Stunde 6: Einfluss der Kenngrößen auf die Form der Glockenkurve
Haben die Schülerinnen und Schüler in der vorangegangenen Stunde die Bedeutung der Glockenkurve zum Ermitteln von Wahrscheinlichkeiten bei normalverteilten Zufallsgrößen erfahren, so sollen sie im nächsten Schritt in die Lage versetzt werden, die Glockenkurve anhand der Kenngrößen Erwartungswert und Standardabweichung zu skizzieren.
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In vielen Abituraufgaben im Fach Mathematik wiederholen sich häufig die Themen und Aufgabenstellungen. Mit Hilfe dieser Zusammenstellung kannst Du dich Thema für Thema auf die Abiturprüfung vorbereiten. Eine Übersicht der Themenbereiche findet man unter Übersicht Themen in Abituraufgaben
Dieses Thema kommt in 13 bayerischen Abituraufgaben vor.
Solche Aufgaben können aber zur Differenzierung eingesetzt werden. Im zweiten Teil steht das Betrachten und Interpretieren von Histogrammen sowie der Einfluss von Kettenlänge und Trefferwahrscheinlichkeit (und damit auch des Erwartungswertes) auf Lage und Form eines Histogramms im Vordergrund. Je nach Bedarf schließen sich Übungen zu folgenden Themen an (eingeführtes Schulbuch):
Überprüfung, ob eine Binomialverteilung angenommen werden kann
Interpretation der Formel von Bernoulli
Berechnung von P(X = k); P(X ≤ k); P(X ≥ k); P(k1 ≤ X ≤ k2)
Berechnung von Erwartungswert und Standardabweichung
Erstellen und Interpretieren von Histogrammen
Im dritten Teil soll der Übergang zum Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten mittels Flächen angebahnt werden. Übungsaufgaben mit Musterlösungen zur Statistik: Standardabweichung. Hierzu werden bei einer Binomialverteilung die Trefferzahlen zu Intervallen zusammengefasst und dargelegt, dass nun die Fläche der Säule ausschlaggebend ist für die Ermittlung der Wahrscheinlichkeit über einem Intervall. Stunde 4 – 5: Einführung und erstes Anwenden der Normalverteilung:
In der ersten Phase bearbeiten die Schülerinnen und Schüler in Einzel-oder Partnerarbeit den Auftrag "It's Teatime" und erfahren so den Übergang von einer diskreten zu einer stetigen Verteilung.