In diesem Fall lässt sich die Kettenregel wie folgt schreiben:
Der letzte Malpunkt bezeichnet dabei das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren, dem Gradienten
der Funktion, ausgewertet an der Stelle, und der vektorwertigen Ableitung
der Abbildung. [1]
Kettenregel und Richtungsableitung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Für den Spezialfall,, mit, ist
die Richtungsableitung von im Punkt in Richtung des Vektors. Aus der Kettenregel folgt dann
Es ergibt sich also die übliche Formel für die Berechnung der Richtungsableitung:
[1]
Beispiel [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
In diesem Beispiel bildet die äußere Funktion, abhängig von. Somit ist
Als innere Funktion setzen wir, abhängig von der reellen Variablen. Ableiten ergibt
Nach der allgemeinen Kettenregel gilt daher:
Ein additives Beispiel mittels Substitution [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Um die Ableitung von zu ermitteln, kann man die Funktion zum Beispiel schreiben und dann die Ketten- und Produktregel anwenden, was zu der Ableitung
führt.
Ableitung Von Ln X 2 3
11. 12. 2008, 19:48
Skype
Auf diesen Beitrag antworten »
ableitung von (lnx)^2
hallo,
wie leite ich denn ln(x)^2 ab? hab ehrlich gesagt keine ahnung. innere funktion wäre für mich x = abgeleitet 1. also 1*ln(x)^2. das weicht allerdings von dem ergebnis ab was ich bei bekommen habe. 11. 2008, 19:49
Duedi
Tipp: Die äußere Funktion ist und die innere
11. 2008, 19:52
also 2x*ln(x)^2?? aber dann wäre ja sowohl die basis als auch der exponent innere funktion. kann nicht nur eins von beiden die innere sein?? 11. 2008, 19:58
rawsoulstar
Das stimmt so leider nicht. Es gilt
\edit: Warum hat denn der Converter Probleme mit \left und \right? 11. 2008, 19:59
sorry, aber damit kann ich nicht viel anfangen
11. 2008, 20:00
Das ist immer noch falsch. Schau:
Wenn du als Verkettung darstellst:, mit und, ist die Ableitung so definiert:. Anzeige
11. 2008, 20:02
Carli
(lnx)² kann man doch mit Kettenregel ableiten, was dann 2lnx/x wäre oder? Produktregel brauch man nur wenn auch außerhalb der Klammer ein x steht.
Ableitung Von Ln X 2 Ln 63
Sie müssen die Äußere Funktion ableiten und die mit der Ableitung der inneren Funktion multiplizieren. Wenn also g(x) = ä(i(x)) ist, dann ist g'(x) = g'(i(x)) * i'(x). Zur Verdeutlichung: g(x) = (x 2 +1) 3 => g'(x) = 3 (x 2 +1) 2 * 2 x, dabei ist g'(i(x)) = 3 (x 2 +1) 2 und i'(x) = 2 x. Die Ableitung der Funktion g(x) = (x 2 +1) 3 können Sie natürlich auch ohne die Kettenregel bilden, denn Sie können die Klammern ausmultiplizieren. Dieser Weg bleibt Ihnen bei der logarithmischen Funktion nicht. Anwendung der Kettenregel auf ln (ln(x))
Die Ableitung von ln x ist 1/x. Ferner gilt f(x) = ln (ln(x)). In dem Fall ist i(x) = ln x und ä(x) = ln (i(x). Obwohl viele Schüler nicht gerade die größten Mathematikfans in der Schule sind, so können Sie …
Bilden Sie nun zuerst die innere Ableitung i'(x). Das ist also 1/x. Berechnen Sie dann ä'(x), also die äußere Ableitung. Diese ist 1/i(x)t, also 1/ln(x), denn i(x) ist ln(x). Jetzt ist es kein Problem f'(x) zu bilden: f'(x) = ä'(x) * i'(x) = 1/ln(x) * 1/x.
Die Kettenregel besagt dann:
Sind, und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und ist die Verkettung der differenzierbaren Abbildungen und, so ist auch differenzierbar und für die Ableitung im Punkt gilt:
Kettenregel für Fréchet-Ableitungen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Kettenregel gilt ganz entsprechend für Fréchet-Ableitungen. Gegeben seien Banach-Räume, und, offene Teilmengen und und Abbildungen
und. Ist an der Stelle und an der Stelle differenzierbar, so ist auch die Verkettung an der Stelle differenzierbar und es gilt
Literatur [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im R n. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 9. Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1231-5. Konrad Königsberger: Analysis 2. 5. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20389-3. Geiger, Kanzow: Theorie und Numerik restringierter Optimierungsaufgaben. Springer, Berlin / Heidelberg 2002, ISBN 978-3-540-42790-2. Einzelnachweise und Anmerkungen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
↑ a b Physiker schreiben hier die Vektoren, bzw., mit Vektorpfeilen (, ) oder mit Fettdruck ( bzw. ).
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