Impuls-Energie beträgt. Diese ist invariant gegenüber einem Wechsel des Bezugssystems. Compton-Effekt - Herleitung. ] De-Broglie-Wellenlänge für Elektronen hoher kinetischer Energie (relativistisch)
Wir verwenden nun die Beziehung für relativistische Energie und Impuls zur Herleitung der De-Broglie-Wellenlänge für Elektronen hoher Energie. Mit folgt für den Impuls
Diesen setzen wir nun in die De-Broglie-Beziehung ein und erhalten so:
Schließlich ersetzen wir die Energien mit und und erhalten für die
De-Broglie-Wellenlänge (relativistisch):
Zur Erinnerung: Die klassische Berechnung ergab für die De-Broglie-Wellenlänge
(klassisch)
Für hohe Beschleunigungsspannungen müssen wir also auch die De-Broglie-Wellenlänge relativistisch berechnen. Der Fehler, den man mit der klassischen Berechnung macht, ist bei Beschleunigungsspannungen von einigen kV vernachlässigbar. Er beträgt bei 1 kV nur etwa 0, 05%, bei 10 kV knapp 0, 5%. Für U B = 100 kV liegt der Fehler bei 4, 8%, bei 1 MV sind es knapp 41%.
Relativistische Energie Impuls Beziehung Herleitung Van
Als Viererimpuls oder auch Energie-Impuls-Vektor eines
Teilchens oder Systems bezeichnet man in der relativistischen
Physik zusammenfassend seine Energie
und seinen Impuls in Form eines Vierervektors, d. h.
eines Vektors mit vier Komponenten. Der Viererimpuls ist eine Erhaltungsgröße,
d. h., er bleibt konstant, solange das Teilchen oder System keine
Einwirkungen von außen erfährt.
Relativistische Energie Impuls Beziehung Herleitung De
\[E^2 = E_0^2 + (c\cdot p)^2 \Rightarrow E = \sqrt{E_0^2 + (c\cdot p)^2}\]Dabei ist \(E\) die Gesamtenergie, \(E_0\) die Ruheenergie und \(p\) der Impuls. Energie-Impuls-Beziehung im rechtwinkligen Dreieck
Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Energie-Impuls-Beziehung im rechtwinkligen Dreieck Die Energie-Impuls-Beziehung kann auch in einem rechtwinkligen Dreieck dargestellt werden (siehe Abb. Relativistische energie impuls beziehung herleitung de. 1). Dabei ist die Gesamtenergie die Hypotenuse, die Katheten sind die Ruheenergie \(E_0\) und das Produkt aus Impuls und Lichtgeschwindigkeit \(p\cdot c\). Für Teilchen mit Ruhemasse \(m_0=0\) ergibt die Energie-Impuls-Beziehung \(E=p\cdot c\)
Relativistische Energie Impuls Beziehung Herleitung In English
\(0{, }511\, \rm{MeV}\). Bestimme die kinetische Energie von Elektronen in Elektronenvolt für folgende Werte von \(\frac{v}{c}\): \(0{, }300;\; 0{, }600;\; 0{, }800;\; 0{, }900;\; 0{, }950;\; 0{, }990\) und stelle \(\frac{v}{c}\) in Abhängigkeit von der kinetischen Energie in einem \(E_{\rm{kin}}\text{-}v\)-Diagramm dar. Für die kinetische Energie gilt:
kinetische Energie = Gesamtenergie - Ruheenergie
\[{E_{kin}} = E - {E_0} \Rightarrow {E_{kin}} = \frac{{{m_0} \cdot {c^2}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}}}} - {m_0} \cdot {c^2} \Rightarrow {E_{kin}} = {m_0} \cdot {c^2}\left( {\frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}}}} - 1} \right)\]
v/c
0, 300
0, 600
0, 800
0, 900
0, 950
0, 990
E kin in eV
2, 47·10 4
1, 27·10 5
3, 41·10 5
6, 61·10 5
1, 13·10 6
3, 11·10 6
Wenn wir diese Werte in die bekannte Formel einsetzen erhalten wir
Wir sehen also, dass der Wellencharakter von Materie in der klassischen Mechanik komplett irelevant ist und wir ihn vernachlässigen können. Für Quantenteilchen spielt die de Broglie Wellenlänge jedoch eine wichtige Rolle. Betrachten wir dafür als zweites ein Proton mit Masse und Ladung in einem Plattenkondensator mit der Beschleunigungspannung. Energie-Impuls-Beziehung | LEIFIphysik. Nach Durchlauf des Kondensators gilt dann
Das ist mehr als der Protonenradius von ca.! Wir können ein solches Proton also nicht als reines Teilchen behandeln. De Broglie Wellenlänge Experimenteller Nachweis
Es gibt viele Möglichkeiten, den Wellencharakter von Materie experimentell zu überprüfen. Eine davon ist der Nachweis mittels Beugungsexperimenten an Kristallen. Präparieren wir hierzu eine Elektronen emitter so, dass ein Strahl aus Elektronen mit großen zeitlichen Abständen erzeugt wird (es sind also immer nur einzelne Elektronen "unterwegs"). Wenn wir mit diesem Strahl jetzt ein Beugungsexperiment durchführen und die einzelnen ausgehenden Elektronen detektieren, wird sich mit der Zeit und mit zunehmender Zahl an Elektronen das bekannte Beugungsmuster bilden; ganz so wie wir es von einer elektromagnetischen Welle erwarten würden.
Insbesondere ändert sich ein ruhendes Teilchen nicht bei Drehungen. Daher
ändern sich auch nicht diejenigen Komponenten seines Viererimpulses,
die wie ein dreidimensionaler Ortsvektor
bei Drehungen in einen gedrehten Vektor übergehen. Der einzige solche Vektor ist
aber der Nullvektor. Relativistische energie impuls beziehung herleitung in english. Also hat der
Viererimpuls
eines ruhenden Teilchen einen Wert
Die Bezeichnung
ist im Vorgriff auf das spätere Ergebnis gewählt, steht hier aber zunächst für
irgendeinen Wert.