Beim Satz des Pythagoras muss man folgendes beachten: Man kann den Satz nur bei einem rechtwinkligen Dreieck anwenden. Die bekannte Formel a 2 + b 2 = c 2 a^2 + b^2 = c^2 ist nicht immer gültig, sondern nur wenn c c die Hypotenuse in dem Dreieck ist. Umkehrung des Satzes Wenn man weiß, dass in einem Dreieck ABC die Gleichung a 2 + b 2 = c 2 a^2+b^2=c^2 gilt, dann liegt bei C ein rechter Winkel vor (und dann ist c die längste Seite und die Hypotenuse des Dreiecks). Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4. 0. → Was bedeutet das?
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Pythagoras von Samos lebte etwa von 570 - 510 Er war unter anderem ein griechischer Philosoph und Mathematiker. Eine seiner größten Entdeckungen ist der nach ihm benannte "Satz des Pythagoras" der Euklidischen Geometrie über das rechtwinklige Dreieck. Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem beliebigen rechtwinkligen Dreieck, die Summe der Flächeninhalte der beiden Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates ist. Als Gleichung formuliert, gilt: a² + b² = c², mit: a und b als Längen der am rechten Winkel anliegenden Seiten (Katheten) und c als Länge der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite (Hypotenuse). Der Satz des Pythagoras gehört zur Satzgruppe des Pythagoras, welche auch den Höhensatz und den Kathetensatz beinhaltet. Erkenntnisse aus dem Satz des Pythagoras: Die Länge der Hypotenuse ist gleich der Quadratwurzel der Summe aus den Kathetenquadraten. Aus zwei bekannten Seiten eines beliebigen rechtwinkligen Dreiecks lässt sich die dritte Seite berechnen.
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Der Satz des Pythagoras gilt aber auch in jedem anders bezeichneten rechtwinkligen Dreieck. Im Dreieck
RST liegt der rechte Winkel am Punkt
S ist
s die Länge der Hypotenuse und die Längen der Katheten sind
r bzw.
t.
Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck berechnen
Mit dem Satz des Pythagoras lassen sich nicht nur Flächeninhalte berechnen, sondern auch die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks. Länge der Hypotenuse (in
cm)
Länge c der Hypotenuse
Also:
c = 17
Länge einer Kathete (in
Länge b der Kathete
b = 20
Die Umkehrung des Satzes des Pythagoras
Ein rechter Winkel lässt sich auf ganz einfache Weise im Gelände abstecken. Hierzu nimmst du eine Schnur und unterteilst sie mit 11 Knoten in 12 gleich lange Teile. Mit dieser Schnur kannst du ein Dreieck mit den Seitenlängen 3, 4 und 5 legen, denn 3 + 4 + 5 = 12. Es ergibt sich ein rechter Winkel. Dass dieser "Trick" funktioniert, folgt nicht aus dem Satz des Pythagoras, sondern aus seiner Umkehrung. Diese Umkehrung besagt:
Wenn in einem Dreieck
ABC
a 2 + b 2 = c 2 gilt, dann ist das Dreieck rechtwinklig, wobei der rechte Winkel der Seite mit der Länge
c gegenüber liegt.
Formel von oben setzen: a² = h² + p²
a² = h² + p²
Ersetzen von h²
a² = qp + p²
Ausklammern von p
a² = p (q + p)
Wir wissen q + p = c und setzen dieses ein
Somit haben wir bewiesen, dass der Kathetensatz gilt. Das selbe Verfahren wendet man an, um zu beweisen, dass b² = q • c.
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3. Dezember – Welttag der Menschen mit Behinderungen Donnerstag, 3. Dezember 2020 | Heute ist der Welttag der Menschen mit Behinderungen! Das möchten wir zum Anlass nehmen Interessierte darauf hinzuweisen, dass nach wie vor viele Beiträge der INKLUSIVA 2020 wie Interviews von Aussteller_innen sowie Videos von Vorträgen, Sportlichen Pausen und Aktionen auf der Veranstaltungsseite der digitalen INKLUSIVA 2020 zur Verfügung stehen. Ausbildungsmesse mainz 2020 tv. Die Seite […]
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