Richtungssinn von $x$ beliebig, unter Beachtung eines Rechtssystems folgt der Richtungssinn von $y$. Von $x$-Achse ausgehend für gegebenen Winkel $\varphi$ die $\xi$-Achse (\xi = Xi) zeichnen
Unter Beachtung des Richtungssinnes folgt die $\eta$-Achse ($\eta$= Eta) $\rightarrow$ Merke: Aus $x$ wird Xi und aus $y$ wird Eta! Schnittpunkte der $\xi-\eta$-Achse mit Kreis legen Punkte $P_\xi$ und $P_\eta$ fest
Abgreifen der Spannungen $P_\xi=(\sigma_\xi, \ \tau_{\xi\eta})$ und $P_\eta=(\sigma_\eta, \ -\tau_{\xi\eta})$
Rechnerische Bestimmung:
(i) Hauptnormalspannungen (kurz: Hauptspannungen)
\begin{align*}
1. \ \sigma_1 &= \sigma_{max} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \sqrt{ \left( \frac{\sigma_x – \sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2} \\
2. Mohrscher Spannungskreis (3D) - tebeki. \ \sigma_2 &= \sigma_{max} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} – \sqrt{ \left( \frac{\sigma_x – \sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2} \\
3. \ \tau_{12} &= 0
\end{align*}
$\rightarrow$ In Hauptspannungsrichtung verschwindet Schubspannung! Winkel der maximalen/minimalen Hauptspannungsrichtung:
\tan \varphi_1^* = \frac{\tau_{xy}}{\sigma_1 – \sigma_y} \quad \textrm{und} \quad \varphi_2^*=\varphi_1^*+\frac{\pi}{2}
Kontrolle über Invarianten:
1.
- Definition - Mohrsche Spannungskreis - item Glossar
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Definition - Mohrsche Spannungskreis - Item Glossar
Für einen normierten Richtungsvektor n und Spannungstensor S gilt:
σ n = n T S n
|τ n | = ( n T S T S n - σ n 2) 1/2. weitere JavaScript-Programme
Mohrscher Spannungskreis · Spannungen Im Raum · [Mit Video]
Dort wo diese Verbindungslinie die $\sigma$-Achse schneidet, liegt der Mittelpunkt und somit die mittlere Normalspannung $\sigma_m$. Der Kreis kann nun vom Mittelpunkt aus durch die beiden Punkte gezeichnet werden. Hauptspannungen und Hauptrichtung Die Hauptspannungen $\sigma_1$ und $\sigma_2$ befinden sich auf dem äußersten Rand des Kreises auf der $\sigma$-Achse, da dort die Schubspannung $\tau_{xy} = 0$ ist. Es gilt $\sigma_2 < \sigma_1$. Das bedeutet, dass $\sigma_1$ immer rechts von $\sigma_2$ liegt. Die Werte können einfach abgelesen werden und ergeben: $\sigma_1 \approx 22 MPa$. $\sigma_2 \approx -32 MPa$ Rechnerische Probe: $ \sigma_{1, 2} = \frac{(\sigma_x + \sigma_y)}{2} \pm \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 +\tau^2_{xy}} $ $\sigma_1 = 21, 93 MPa$ Die Hauptrichtung wird so eingezeichnet, dass von der Verbindungslinie ($P_1$ - $\sigma_m$) aus zur $\sigma$-Achse der Winkel gemessen wird. Mohrscher Spannungskreis · Spannungen im Raum · [mit Video]. Der Winkel zur negativen $\sigma$-Achse gilt dabei für die Hauptnormalspannung $\sigma_2$, der Winkel zur positiven $\sigma$-Achse zur Hauptnormalspannung $\sigma_1$.
Mohrscher Spannungskreis (3D) - Tebeki
Mittlere Normalspannung
Die erste Spannung, die wir bereits vor dem Zeichnen des Kreises ablesen können, ist die mittlere Normalspannung σ M, die sich aus dem Schnittpunkt der Verbindungslinie mit der σ-Achse ergibt:
In unserem Beispiel beträgt die mittlere Normalspannung:
Merk's dir! Merk's dir! Aus der vorherigen Lektion weißt du bereits, dass die mittlere Normalspannung dann auftritt, wenn die Schubspannungen ihre Extremwerte annehmen (Hauptschubspannungen). Du kannst auch jederzeit überprüfen, ob der Wert, den du abgelesen hast richtig ist, indem du einfach die mittlere Normalspannung mittels der folgenden Formel berechnest:
Einsetzen der Werte ergibt:
Hauptnormalspannungen
Treten die Hauptnormalspannungen (Extremwerte der Normalspannungen) auf, dann verschwinden die Schubspannungen. Mit diesem Wissen können wir die Hauptnormalspannungen ganz einfach ablesen. Definition - Mohrsche Spannungskreis - item Glossar. Sie befinden sich am Rand des Mohrschen Spannungskreises auf der σ-Achse:
Wichtig: Die Hauptnormalspannung σ 1 ist immer größer als die Hauptnormalspannung σ 2.
Diese Schubspannungen sind beim Biegeversuch an Kunststoffen vernachlässigbar, wenn die Bedingung Stützweite L /Prüfkörperdicke h ≥ 16 erfüllt wird. Vereinfacht lässt sich das Maximum der Schubspannung nach Gl. (6) für einen rechteckigen Querschnitt berechnen [3]:
Bild 4:
Normalspannungsverteilung (a) und Verteilung der Schubspannung (b) im Querschnitt eines Prüfkörpers bei Dreipunktbiegung
Infolge der Querkraftschubempfindlichkeit von Laminaten oder schichtartig aufgebauten Werkstoffverbunden und der möglichen Gefahr von auftretenden Delaminationen muss bei diesen Werkstoffen im Biegeversuch die Bedingung L/h ≥ (20−25) erfüllt werden. Bei differierendem Zug- und Druckverhalten des Werkstoffes tritt eine Verschiebung der neutralen Faser auf, wodurch die Spannungsverteilung im Querschnitt nichtlinear und asymmetrisch ist. Literaturhinweise
[1]
Lüpke, T. : Grundlagen mechanischen Verhaltens. In: Grellmann, W., Seidler, S. (Hrsg. ): Kunststoffprüfung. Carl Hanser Verlag, München (2015) 3.
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