Die Umkehrfunktion der e-Funktion ist somit auch eine Logarithmus-Funktion, sie wird als natürlicher Logarithmus
oder als bezeichnet. Umkehrfunktion der e-Funktion:
Sprechweise: "l n x"
e-Funktion und ln-Funktion
Graphisch entspricht die Umkehrfunktion immer einer Spiegelung an der Winkelhalbierenden, weswegen du aus vielen Eigenschaften der natürlichen Exponentialfunktion direkt auf die ln Funktion schließen kannst. Du brauchst die ln Funktion immer dann, wenn du eine Gleichung berechnen willst, die eine Exponentialfunktion enthält. Ein typisches Beispiel dafür ist die Berechnung der Nullstellen von:
Ausführlich erklären wir dir die ln-Funktion aber in einem eigenen Video. e Funktion ableiten im Video zur Stelle im Video springen (03:11)
Wie du die e Funktion ableiten kannst, erklären wir dir ebenfalls ausführlich in einem eigenen Video. Schnittpunkt zweier Exponentialfunktionen | InstantMathe. Da die natürliche Exponentialfunktion die einzige Funktion ist, deren Steigung immer gleich ihrem Funktionswert ist, ist ihre Ableitung immer wieder die Funktion selbst.
- Exponentialfunktion • Erklärung + Beispiele · [mit Video]
- Exponentialfunktionen | Mathebibel
- Schnittpunkt zweier Exponentialfunktionen | InstantMathe
Exponentialfunktion • Erklärung + Beispiele · [Mit Video]
Nun setzt du die beiden Funktionsterme gleich und löst nach x x auf: Dies ist die x x -Koordinate des Schnittpunkts der Funktionenschar. Um die y y -Koordinate des Schnittpunkts zu berechnen, setzt du den x x -Wert in eine der beiden Funktionsgleichungen ein: Damit ergibt sich der Schnittpunkt A ( 0 ∣ 1) A\left(0\, |\, 1\right). Wechselnde Schnittpunkte Kommt ein Parameter mehrmals und/oder potenziert vor, so muss es keinen eindeutigen Schnittpunkt geben. Exponentialfunktionen | Mathebibel. Das nebenstehende Bild zeigt die Funktionsgraphen der Funktionenschar für k = − 2; − 1; 0; 1; 2 \mathrm{k}=-2;-1;0;1;2 Offensichtlich gibt es keinen eindeutigen Schnittpunkt. Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4. 0. → Was bedeutet das?
Exponentialfunktionen | Mathebibel
Beispiel 2: Zu bestimmen sind die Achsenschnittpunkte von Um mögliche Schnittpunkte mit des x- Achse zu bestimmen, ist der Aufwand etwas größer. Dazu sind die Nullstellen von f (x) zu bestimmen. Um die Schnittpunkte mit der x- Achse, also die Nullstellen einer Exponentialfunktion zu bestimmen, ist es in vielen Fällen erforderlich, eine Exponentialgleichung zu lösen. Exponentialfunktion • Erklärung + Beispiele · [mit Video]. Zusätzlich zu den bekannten Operationen, die zur Lösung von Gleichungen verwendet werden, ist es bei der Lösung von Exponentialgleichungen nötig, die Potenz- und die Logarithmengesetze zu kennen. Potenz- und Logarithmengesetze Da wir im folgenden die Potenz- und Logarithmengesetze brauchen werden, habe ich hier noch einmal die wichtigsten zusammengefasst: Im Zusammenhang mit e-Funktionen haben Potenzen mit der Basis e und natürliche Logarithmen eine besondere Bedeutung. Trainingsaufgaben: Anwendung der Potenz- und Logarithmengesetze Formen Sie folgende Potenz- und Logarithmenterme unter Verwendung der Potenz- und Logarithmengesetze um.
Schnittpunkt Zweier Exponentialfunktionen | Instantmathe
Laut einem der Wurzelgesetze gilt: $(-2)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{-2}$. Für negative Radikanden ist das Wurzelziehen allerdings nicht definiert! Definitionsmenge Die Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ ist die Menge aller $x$ -Werte, die in die Funktion $f$ eingesetzt werden dürfen. In Exponentialfunktionen dürfen wir grundsätzlich alle reellen Zahlen einsetzen: Wertemenge Die Wertemenge $\mathbb{W}_f$ ist die Menge aller $y$ -Werte, die die Funktion $f$ unter Beachtung ihrer Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ annehmen kann. Bei Exponentialfunktionen kommt am Ende immer eine positive reelle Zahl heraus: Graph Die Exponentialkurven unterscheiden sich danach, ob die Basis $a$ zwischen $0$ und $1$ liegt oder größer als $1$ ist. Basis $a$ zwischen 0 und 1 Beispiel 2 $$ f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x $$ Um den Graphen sauber zu zeichnen, berechnen wir zunächst einige Funktionswerte: $$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c} \text{x} & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \text{y} & 8 & 4 & 2 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ \end{array} $$ Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $$ f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x $$ Wir können einige interessante Eigenschaften beobachten: Je größer $x$, desto kleiner $y$ $\Rightarrow$ Der Graph ist streng monoton fallend!
Die Exponentialfunktion ist ähnlich der Potenzfunktion, nur dass das x im Exponenten steht, also sieht die Funktion wie folgt aus ( mit
Vorfaktor b gibt es weiter unten die Erklärung):
f(x)=a x
Wobei a jede positive Zahl außer 0 und 1 sein kann, da sonst die Funktion konstant wäre (also bei a=0 für jedes x immer 0 und für a=1 immer 1). ist a zwischen 0 und 1 ist es eine so genannte exponentielle Abnahme, d. h. der Graph fällt ganz schnell und geht gegen 0, nähert sich also der x-Achse immer weiter an, berührt diese aber nie! ist a größer als 1, ist es ein so genanntes exponentielles Wachstum, also der Graph steigt schnell an. Ist eine Exponentialfunktion in der allgemeinen Form gegeben und nicht verschoben, also in der Form y=a x, ohne Vorfaktor b (unten gibt es dasselbe mit), dann hat sie
folgende Eigenschaften:
sie hat keine Nullstellen
die x-Achse ist eine waagerechte Asymptote
sie hat einen Schnittpunkt mit der y-Achse bei (0|1)
Mehr zu dem Thema findet ihr im Artikel zur Definitions- und Wertemenge.