Das Experiment wäre also genau dasselbe, wenn nicht 10 rote und 5 weiße, sondern 100 rote und 50 weiße Kugeln in dem Beutel steckten. Möchte man stattdessen die Kugeln nicht zurücklegen, verwendet man die hypergeometrische Verteilung. Das Experiment, das man mit ihr modellieren kann, sieht also zum Beispiel wie folgt aus: Man hat einen Beutel mit 15 Kugeln, wovon 5 Kugeln weiß sind. Hypergeometrische Verteilung - hilfreiche Rechner. Man nimmt nun nacheinander vier Kugeln aus dem Beutel, ohne sie danach zurückzulegen. Nun kann ich mit Hilfe der hypergeometrischen Verteilung ausrechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit ich keine, eine, zwei, drei, oder vier weiße Kugeln in meiner Stichprobe erhalte. Parameter
Für die hypergeometrische Verteilung ist es nun im Gegensatz zur Binomialverteilung wichtig, wieviele Kugeln jeder Sorte im Beutel liegen. Daher hat diese Verteilung drei Parameter:
\(N\), die Anzahl der Elemente insgesamt. Im oberen Beispiel haben wir \(N=15\) Kugeln. \(M\), die Anzahl der Elemente, die die gewünschte Eigenschaft besitzen ("Treffer").
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- Hypergeometrische Verteilung berechnen
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Binomialwahrscheinlichkeitsrechner - Mathcracker.Com
DIST gibt die #NUM! zurück. Ist number_pop ≤ 0, HYPGEOM. DIST gibt die #NUM! zurück. Hypergeometrische Verteilung berechnen. Die Formel für eine hypergeometrische Verteilung lautet:
Wobei Folgendes gilt:
x = Erfolge_S
n = Umfang_S
M = Erfolge_G
N = Umfang_G
wird verwendet, wenn einer begrenzten (endlichen) Grundgesamtheit Probestücke entnommen werden, ohne dass letztere ersetzt werden. Beispiel
Kopieren Sie die Beispieldaten in der folgenden Tabelle, und fügen Sie sie in Zelle A1 eines neuen Excel-Arbeitsblatts ein. Um die Ergebnisse der Formeln anzuzeigen, markieren Sie sie, drücken Sie F2 und dann die EINGABETASTE. Im Bedarfsfall können Sie die Breite der Spalten anpassen, damit alle Daten angezeigt werden. Daten
Beschreibung
Ergebnis
1
Anzahl der in der Stichprobe erzielten Erfolge
4
Umfang der Stichprobe
8
Anzahl der in der Grundgesamtheit möglichen Erfolge
20
Umfang der Grundgesamtheit
Formel
Beschreibung (Ergebnis)
(A2;A3;A4;A5;WAHR)
Wert der Verteilungsfunktion der hypergeometrischen Verteilung für die Stichprobe und Grundgesamtheit in den Zellen A2 bis A5
0, 4654
(A2;A3;A4;A5;FALSCH)
Wert der Dichtefunktion der hypergeometrischen Verteilung für die Stichprobe und Grundgesamtheit in den Zellen A2 bis A5
0, 3633
Benötigen Sie weitere Hilfe?
Hier ist \(M=5\), die Anzahl der weißen Kugeln. \(n\), die Anzahl der Kugeln, die als Stichprobe gezogen wird. Hier ist \(n=4\). Wenn wir unser Beispiel mit der Zufallsvariablen \(X\) beschreiben, sieht die hypergeometrische Verteilung wie folgt aus:
\[ X \sim \text{HG}(15, 5, 4) \]
Träger
Die hypergeometrische Verteilung hat denselben Träger wie die Binomialverteilung: Wenn man \(n=4\) Kugeln zieht, sind 0 bis 4 Erfolge möglich. Binomialwahrscheinlichkeitsrechner - MathCracker.com. Allgemein ist also
\[ \mathcal{T} = \{ 0, 1, \ldots, n \} \]
Dichte
Die Dichte einer hypergeometrisch verteilten Zufallsvariable \(X\) lautet
\[ f(x) = \frac{{M \choose x} {N-M \choose n-x}}{N \choose n} \]
In unserem Beispiel ist also die Wahrscheinlichkeit, bei 4 gezogenen Kugeln 2 weiße Kugeln darunter zu finden, gleich
\[ f(2) = \frac{{5 \choose 2} {15-5 \choose 4-2}}{15 \choose 4} = 0. 3297 \]
Die Dichte \(f(x)\) für die hypergeometrische Verteilung unseres Beispiels. Beachte hier, dass die Werte \(N\), \(M\) und \(n\) das Experiment beschreiben, und dann (gegeben einem Experiment) nicht mehr verändert werden.
Hypergeometrische Verteilung Berechnen
Jedes relevante Ergebnis einer durchgeführten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben. Weitere relevante Seiten zu diesem Programm Durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Schaltfläche gelangen Sie zur Startseite dieser Homepage. Durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Schaltfläche gelangen Sie zur Videoauswahl zu MathProf 5. 0. Durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Schaltfläche können Sie eine kostenlose Demoversion des Programms MathProf 5. 0 herunterladen. Themen und Stichworte zu diesem Modul: Hypergeometrisch verteilte Zufallsgrößen - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Grafik - Graph - Grafisch - Histogramm - Dichte und Verteilung - Kumulierte Häufigkeit - Eintrittswahrscheinlichkeit
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Modul Hypergeometrische Verteilung - Interaktiv
Das Unterprogramm [ Stochastik] - [ Hypergeometrische Verteilung] - Hypergeometrische Verteilung - Interaktiv ermöglicht eine grafische Analyse der Verteilung, sowie der Dichte hypergeometrisch verteilter Zufallsgrößen.
Der Umfang (Größe) der Stichprobe
Erfolge_G Erforderlich. Die Anzahl der in der Grundgesamtheit möglichen Erfolge
Umfang_G Erforderlich. Der Umfang (Größe) der Grundgesamtheit
Kumuliert Erforderlich. Ein Wahrheitswert, der die Form der Funktion bestimmt. Ist Kumuliert mit WAHR begnen, dann ist HYPGEOM. DIST gibt die kumulierte Verteilungsfunktion zurück; Ist die Funktion FALSCH, wird die Wahrscheinlichkeitsfunktion zurückgegeben. Hinweise
Alle Argumente werden durch Abschneiden der Nachkommastellen zu ganzen Zahlen gekürzt. Ist eines der Argumente nichtnumerisch, ist HYPGEOM. DIST gibt die #VALUE! zurück. Ist Erfolge_S < 0 oder Erfolge_S größer als der kleinere der Werte von Umfang_S bzw. Erfolge_G, liefert den Fehlerwert #ZAHL!. Ist sample_s kleiner als der größere von 0 oder (number_sample - number_population + population_s), HYPGEOM. DIST gibt die #NUM! zurück. Wenn number_sample ≤ 0 oder number_sample > number_population, HYPGEOM. DIST gibt die #NUM! zurück. Wenn population_s ≤ 0 oder population_s > number_population, HYPGEOM.
Hypergeometrische Verteilung - Hilfreiche Rechner
Und zu guter Letzt
die Anzahl nleq N der Elemente in der Stichprobe. Beispielrechnung:
N=Fünfzig
m=Fünf
n=zehn
k=Vier
Das Ergebnis wird binnen Sekunden ermittelt und lautet, nachdem auf Berechnen geklickt wurde, wie folgt: P(X = k) ergibt 0, 00396. Das Endergebnis kann mit einem Klick auf die Schaltfläche Drucken ausgedruckt werden.
004 = 0. 996\]
Erwartungswert
Der Erwartungswert ist, analog zur Binomialverteilung, einfach \(n\)-mal der anfängliche Anteil an Treffern, also \(M/N\). Es ist daher
\[ \mathbb{E}(X) = n \cdot \frac{M}{N} \]
Varianz
Die Varianz berechnet man durch
\[ \mathbb{V}(X) = n \frac{M}{N} \left( 1-\frac{M}{N} \right) \frac{N-n}{N-1} \]
Beispielaufgabe
Mit Hilfe der hypergeometrischen Verteilung können wir zum Beispiel die folgenden Fragen beantworten:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, beim deutschen Lotto (6 aus 49) drei gerade und drei ungerade Zahlen zu ziehen? Wie hoch ist dort die Wahrscheinlichkeit für sechs gerade Zahlen? In beiden Fragen verwenden wir eine Zufallsvariable mit der Verteilung
\[ X \sim \text{HG}(49, 24, 6). \]
Denn es gibt insgesamt \(N=49\) Kugeln, davon sind \(M=24\) eine gerade Zahl, und wir ziehen \(n=6\) dieser Kugeln. Mit der Dichtefunktion für diese Verteilung können wir nun die Wahrscheinlichkeit für drei (über \(f(3)\)), sechs (über \(f(6)\)), oder beliebig viele Kugeln mit geraden Zahlen bestimmen:
\[\begin{align*} f(3) &=\frac{{24 \choose 3} {49-24 \choose 6-3}}{49 \choose 6} = 0.