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Nun setzen wir p=2 und q=1 in die pqFormel ein. Wir erhalten somit eine ein-elementige Lösungsmenge. b) Bei der Quadratischen Gleichung – x 2 +13x-30=0 ist Vorsicht geboten. Um sie auf Normalform zu bringen, musst du die komplette Gleichung mit (-1) multiplizieren
x 2 -13x+30=0. Quadratische gleichungen pq formel aufgaben 3. Jetzt kannst du p=-13 und q=30 in die pq-Formel einsetzen und berechnest. Somit erhältst du zwei Lösungen x 1 =6, 5+3, 5= 10 und x 2 = 6, 5-3, 5=3 und die Lösungsmenge. Um die Anzahl der Nullstellen zu bestimmen, betrachten wir die Diskriminante der pq-Formel. a) Durch Einsetzen der Werte p=4 und q=5 in die Formel der Diskriminante, siehst du sofort, dass die zugehörige Parabel keine Nullstellen hat, da D<0, denn
b) In diesem Fall setzen wir p=3 und q=-4 in die Diskriminante ein und erhalten
Da D>0 ist, hat diese Parabel zwei Nullstellen. Satz von Vieta
Möchtest du schnell überprüfen, ob deine Lösungen, die du mit der pq-Formel bestimmt hast, stimmen? Dann hilft dir der Satz von Vieta. Der sagt nämlich, dass wieder -p rauskommen muss, wenn du die Lösungen zusammen rechnest:
-p = x 1 + x 2
Gleichzeitig muss aber auch folgender Zusammenhang gelten:
q = x 1 · x 2
Schau dir dafür nochmal das Beispiel vom Anfang an:
x 2 + 2x -3 =0
Die pq-Formel hat als Lösungsformel für quadratische Gleichungen folgende Lösungen ergeben:
x 1 = 1 und x 2 = -3
Willst du testen, ob die Lösung stimmt, kannst du den Satz von Vieta verwenden:
Die Lösungen stimmen also!
Schritt 1: Forme die Gleichung so um, dass auf einer der beiden Seiten die Null steht. Damit bringst du die quadratische Gleichung in die allgemeine Form. Um die pq Formel anwenden zu können, darf vor dem x 2 jedoch kein Vorfaktor stehen. Das heißt du teilst die ganze Gleichung durch die Zahl vor dem x 2, hier die Zahl 2! Somit hast du die Gleichung auf Normalform gebracht
2x 2 -4x = 30 | -30:2
x 2 -2x – 15 = 0
Schritt 2: Lies als nächstes die Koeffizienten p und q ab
p=-2, q =-15. Schritt 3: Setze p und q in die pq-Formel ein. Schritt 4: Berechne die Ergebnisse
x 1 = 1 + 4 = 5 und x 2 = 1 – 4 = -3. Schritt 5: Schreibe die Lösungsmenge auf. Diese Anleitung zur Verwendung der pq-Formel kannst du für jede quadratische Gleichung benutzen. Quadratische gleichungen pq formel aufgaben et. Aber woher weißt du, wie viele Lösungen es gibt? Diskriminante der pq Formel
im Video zur Stelle im Video springen (01:59)
Der Term unter der Wurzel der pq Formel wird Diskriminante
genannt. Dabei wird niemand diskriminiert, das Wort kommt lediglich aus dem Lateinischen und bedeutet "unterscheiden".
,, Wird eine Seite eines Quadrats um 6cm verlängert und die benachbarte Seite um 2cm verkürzt, so entsteht ein Rechteck mit einem Flächeninhalt von 128cm^2. Bestimme Die Seitenlänge des Quadrats mithilfe einer Gleichung"
Ich habe bisher eine Gleichung aufgestellt:
(x+6)(x-2)=128
x1=2 x2=-6
Nun, ich habe keinen Plan, wie ich weitermachen soll. Kann mir das vielleicht jemand erklären? Bzw. ist mein Ansatz überhaupt richtig? Der Ansatz ist soweit korrekt, nur die Gleichung muss ja 128 ergeben. Die beiden Lösungen, die Du angegeben hast mit x1 = 2 und x2 = -6 sind falsch, da ja dann 0 rausbekommen würde, und nicht 128. Um die richtige Lösung zu finden, musst Du (x+6) • (x-2) ausmultiplizieren und die 128 auf die andere Seite rübersubtrahieren:
(x+6) • (x-2) = 128
x² + 4x - 12 = 128
x² + 4x - 140 = 0
Jetzt kannst Du hier die pq-Formel anwenden, und x bestimmen. Ja, der Ansatz ist richtig. Deine Lösungen für X sind aber beide falsch. Setze sie doch einmal ein, dann erkennt man das. Klassenarbeit zu Quadratische Gleichungen. Antwort zur Kontrolle: 10cm.
Hier ist die Diskriminante stets kleiner als Null, was dazu führt, dass du eine negative Wurzel erhältst. Dafür betrachten wir
x 2 +2x+4=0
mit p=2 und q=4. Einsetzen der Werte in die pq-Formel ergibt hier
Auch hier darfst du die Lösungsmenge nicht vergessen aufzuschreiben, obwohl es sich um die leere Menge handelt
pq-Formel Herleitung
Vielleicht fragst du dich, woher die pq Formel eigentlich kommt. Pq Formel • Erklärung, Herleitung, Beispiel · [mit Video]. Dafür wollen wir eine quadratische Gleichung in Normalform mittels quadratischer Ergänzung
nach x auflösen. x 2 +px+q=0
x 2 +px=-q. Die linke Seite wollen wir nun quadratisch ergänzen, weswegen wir zuerst den Ausdruck px umschreiben und dann auf beiden Seiten addieren
Jetzt lässt sich die linke Seite der Gleichung mithilfe der ersten binomischen Formel vereinfachen,
sodass wir im nächsten Schritt die Wurzel ziehen
können und die pq Formel als Ergebnis erhalten. pq Formel Aufgaben
Im Folgenden findest du verschiedene Aufgaben und Lösungen zum Thema pq Formel. Aufgabe 1
Löse die Folgenden quadratischen Gleichungen, indem du die pq-Formel verwendest:
a) x 2 +2x=-1
b) -x 2 +13x-30=0
Aufgabe 2
Gib jeweils an, wie viele Nullstellen die quadratischen Funktionen besitzen, ohne sie explizit mithilfe der pq-Formel auszurechnen:
a) f(x)=x 2 +4x+5
b) f(x)=x 2 +3x-4
a) Um die quadratische Gleichung x 2 +2x=-1 mittels pq-Formel zu lösen, bringen wir sie zuerst auf Normalform
x 2 +2x+1=0.