Die äußere Funktion lautet und die innere Funktion lautet
Die Ableitungen sind demnach, und
Demnach ist und. Die innere Funktion demnach ist
Demnach ist
und. Wir setzen in ein und erhalten:
Und zur Vertiefung der gelernten Ableitungsregeln schaut euch diese Videos an, in denen nochmal ausführlich die wichtigsten Regeln der Ableitung erklärt und mit einem Beispiel vertieft werden:
Anmerkung: Abschließend lässt sich sagen, dass diejenigen, welche die Ableitungsregeln wirklich erlernen möchte, weitere Beispiele durchrechnen und einüben sollten. Ableitung kettenregel beispiel. Die Ableitungsregeln bilden das Fundament für weitere Themen in der Analysis. Wie immer gilt in der Mathematik: "Übung macht den Meister". Also fangt ordentlich an! ( 55 Bewertungen, Durchschnitt: 4, 73 von 5) Loading...
Kettenregel Einfach Erklärt - Studimup.De
Zunächst identifizieren wir wieder u ( x) und v ( x), wobei die innere Funktion von u ( x) erneut mit v substituiert wird. Als nächstes bilden wir u '( x) und v '( x). Die erhaltenen Funktionen setzen wir daraufhin in die Formel für die Ableitung ein. Durch abschließendes Ausmultiplizieren und Vereinfachen erhalten wir:
Beispiel 3
Die folgende Exponentialfunktion soll mithilfe der Kettenregel abgeleitet werden. Wir identifizieren u ( x) und v ( x) und substituieren die innere Funktion von u ( x) mit v.
Anschließend wird u '( x) und v '( x) gebildet. Die erhaltenen Funktionen werden wieder in die Formel für die Ableitung eingesetzt. Das abschließende Ausmultiplizieren und Vereinfachen entfällt hier. Kettenregel einfach erklärt - Studimup.de. Somit lautet die Ableitung von f ( x):
Summen- und Differenzenregel: Die Ableitung ist linear und kann damit direkt in die Summe zweier Funktionen reingezogen werden. Produktregel: "Erste Funktion ableiten, zweite bleibt stehen plus zweite Funktion ableiten, erste bleibt stehen"
Quotientenregel: NAZ-ZAN ist die Merkregel für den Zähler ("Nenner Ableitung Zähler minus Zähler Ableitung Nenner")
Reziprokenregel: Dies ist der Spezialfall der Quotientenregel mit (Zähler ist konstant). Kettenregel: "Ableitung äußere Funktion mal Ableitung innere Funktion". Vorsicht, in die Ableitung der äußeren Funktion muss die innere Funktion eingesetzt werden. Auch darf das Nachdifferenzieren der inneren Funktion nicht vergessen werden. Faktorregel [ Bearbeiten]
Satz (Faktorprodukt)
Sei eine differenzierbare Funktion mit der Ableitung und sei ein Skalar. Dann ist differenzierbar und für die Ableitung gilt
Beweis (Faktorprodukt)
Wir müssen zeigen, dass existiert und gleich ist. Für gilt
Also ist. Summenregel [ Bearbeiten]
Satz [ Bearbeiten]
Nun wollen wir allgemein die Ableitung einer Funktion bestimmen, wobei und differenzierbare Funktionen sind.